El nombre $e$ - nombre transcendent i, per tant, irracional - apareix en molts càlculs i problemes ; per exemple, en la successió de terme general $a_n=\big(1+\dfrac{1}{n}\Big)^n$, on $n$ és un nombre natural, de tal manera que el valor del terme avançat de la successió és igual al nombre $2,718281 \ldots$ i es demostra que, en el límit (per a valors de $n$ tant grans com vulguem), és un nombre que anomenem $e$. Aquesta quantitat apareix ja en els treballs de John Napier (segle disset) sobre el càlcul logarítmic; $e$ és la base dels logaritmes naturals (també anomenats neperians).
El nombre $e$ apareix, per exemple, en el problema de l'interès compost. Vegem-ho. Considerem que dipositem una unitat monetària en un compte bancari a una taxa d'interès anual $i$ (expressada en tant per u) i durant un interval de temps de $t$ anys; i de tal manera, que els interessos es facin efectius $f$ vegades a l'any.
El capital, al cap de $t$ anys vindrà donat per l'expressió
$C(t)=\Big(1+\dfrac{i}{f}\Big)^{f\,t}$
expressió que, de forma equivalent, es pot escriure també així
$C(t)=\Bigg(\Big(1+\dfrac{1}{\frac{f}{i}}\Big)^{\frac{f}{i}}\Bigg)^{i\,t}$
i, per tant, en un cas ideal (quan $ f \rightarrow \infty $ ), tendeix a
$C(t)=e^{i\,t}$
Evidentment, si tenim en compte que hom diposita $C_0$ unitats monetàries, l'expressió queda de la forma
$C(t)=C_{0}\,e^{i\,t}$
Com es fa ben evident, el rendiment d'aquest producte bancari creix amb el valor de $f$. Acabem de veure l'expressió ideal en el límit. En aquest sentit, per tal de donar una idea suficientment clara del rendiment del producte, hom fa ús, sovint, de la “taxa anual equivalent” (T.A.E.) la qual es defineix com la taxa d'interès que, de forma equivalent, en un any produeix els mateixos interessos que el producte bancari contractat a una determinada taxa d'interès anual nominal $i$ i a una determinada freqüència de capitalització anual, $f$.
Vegem com es pot calcular el valor d'aquesta taxa anual equivalent. En $1$ any, una unitat monetària (u.m.) dipositada produeix $1+\text{T.A.E.}$ (u.m.), quantitat que, per altra banda, és igual a $\big(1+\dfrac{i}{f}\big)^{f}$ (u.m.)
Igualant ambdues expressions trobem
$\text{T.A.E.}=\Big(1+\dfrac{i}{f}\Big)^{f}-1$
On hem de remarcar que $\text{T.A.E.} \; \uparrow$ quan $f \; \uparrow$.
$\square$
[autoría]
