Probabilidad de sacar una pareja de bolas del mismo color ...

ENUNCIADO. En una urna hay $10$ bolas, de las cuales: $5$ son blancas, $3$ son verdes, y las restantes son negras. Calcular la probabilidad de que al extraer dos bolas ( una después de la otra ) de la urna resulten ser del mismo color, en las siguientes condiciones:
a) sin reemplazar la primera bola extraída
b) reemplazando la primera bola extraída

SOLUCIÓN. Si asumimos que las bolas se pueden distinguir ( sin recurrir al color de las mismas ), podemos pensar en un espacio muestral cuyos sucesos elementales son equiproblables, por lo que podremos aplicar la regla de Laplace, que ( recordemos ) dice lo siguiente: para un suceso $S$ ( en nuestro caso "extraer las dos bolas del mismo color" ), $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$, donde $N(S)$ es el número de maneras en que puede darse $S$ y $N$ denota el número total de posibilidades.

a)
Si no reemplazamos la primera bola, extraer las dos bolas ( una tras otra ) equivale a extraer las dos bolas a la vez. En estas condiciones, el número (total) de maneras de elegir dos bolas cualesquiera es $N=C_{10,2}=45$.

Por otra parte, en el supuesto de tener que elegir dos bolas blancas, podemos hacerlo de $C_{5,2}=10$ maneras distintas; el número de maneras de elegir dos bolas verdes es $C_{3,2}=3$, y el número de maneras de elegir dos bolas negras es $C_{10-(5+3),2}=1$. Luego, por el principio de adición, tenemos un total de $N(S)=10 + 3 + 1 = 14$ maneras de elegir dos bolas del mismo color.

Aplicando, pues, la regla de Laplace: $P(S)=\dfrac{14}{45} \approx 0{,}31$

b)
Si reemplazamos la primera bola, el número (total) de maneras de elegir dos bolas cualesquiera es $N=\text{VR}_{10,2}=10^2=100$.

Por otra parte, en el supuesto de tener que elegir dos bolas blancas, podemos hacerlo de $\text{VR}_{5,2}=5^2=25$ maneras distintas; el número de maneras de elegir dos bolas verdes es $\text{VR}_{3,2}=3^2=9$, y el número de maneras de elegir dos bolas negras es $\text{VR}_{10-(5+3),2}=2^2=4$. Luego, por el principio de adición, tenemos un total de $N(S)=25 + 9 + 4 = 38$ maneras de elegir dos bolas del mismo color.

Aplicando, pues, la regla de Laplace: $P(S)=\dfrac{38}{100}=0{,}38$

$\square$