Consideremos los $n$ primeros términos de una sucesión aritmética de diferencia $d$:
$a_1$
$a_2=a_1+d$
$a_3=a_2+d=a_1+2d$
$a_4=a_3+d=a_1+3$
$\ldots$
$a_n=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d$
Vamos a justificar que la suma de los $n$ primeros términos viene dada por $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
En efecto, en toda sucesión aritmética se cumple que
$a_1+a_n a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=\ldots$
Escrbiendo la suma con los sumandos en orden directo e inverseo, y sumando miembro a miembro (1) y (2):
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=a_1+ a_2 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n \quad \quad (1)$$
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=a_n+ a_{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_{2} + a_1 \quad \quad (2)$$
se tiene que $$\displaystyle 2\,\sum_{i=1}^{n}\,a_i=(a_1+ a_{n}) + (a_2 + a_{n-1}) + \ldots + (a_{a_n} + a_1)=n\cdot (a_{a_1} + a_n) \Rightarrow \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,a_i=\dfrac{n\cdot (a_1+ a_n)}{2}=\dfrac{a_1+ a_n}{2}\cdot n$$
Nótese que, si $n$ es par —podría pensarse que el razonamiento falla en el caso de que haya un número impar de términos—, se forman $n/2$ pares de esos sumandos cuya suma es igual para todos ellos, por lo que no no hay objeción; y, en el caso de que sea impar, el término central $a_{(n+1)/2}$ se puede expresar como $\dfrac{ a_{(n+1)/2} + a_{(n+1)/2 }}{2}$, dando lugar a una sucesión equivalente con el término $a_{(n+1)/2}$ repetido, por tanto, la sucesión resultante equivale a la sucesión original, pero ésta constará ahora de un número par de términos.
$\diamond$
