Recta de regresión lineal

ENUNCIADO.
Se han realizado cinco Sobservaciones de dos variables estadísticas $X$ e $Y$, obteniendo los siguientes datos:

Se pide:
a) La recta de regresión de $Y$ sobre $X$
b) El valor estimado $\hat{y}$, para $x=2{,}3$
c) El coeficiente de correlación lineal
d) El coeficiente de determinación

SOLUCIÓN.
A continuación damos una reseña de las fórmulas que se utilizan en el cálculo de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, si bien este ejercicio es de carácter práctico y, por tanto, puede realizarse con la ayuda de la calculadora científica básica, empleando las utilidades estadísticas.

La recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ en la forma punto-pendiente es $$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,(x-\bar{x})$$ siendo la covarianza $s_{xy}=\displaystyle \dfrac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}{x_{i}^2}-\bar{x}\cdot \bar{y}$, las varianzas se calculan mediante las fórmulas $s_{x}^2=\dfrac{1}{5}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,x_{i}^2-(\bar{x})^2$ y $s_{y}^2=\dfrac{1}{5}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,y_{i}^2-(\bar{y})^2$; y, las medias se calculan así: $\bar{x}=\displaystyle \dfrac{1}{5}\,\sum_{i=1}^{5}\,x_i$ y $\bar{y}=\displaystyle \dfrac{1}{5}\,\sum_{i=1}^{5}\,y_i$

La ecuación de la recta de regresión lineal podemos expresarla también en forma explícita $$y=m\,x+k$$ donde $m=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}$ y $k=\bar{y}-m\,\bar{x}$

Pasemos ya sin más preámbulos a los cálculos. Entrando los datos en la calculadora científica básica ( tipo Casio fx82MS ) , en modo de regresión lineal ( MODE 3 1 ):
1,20 M+
2,32 M+
3,39 M+
4,55 M+
5,58 M+
y consultando los resultados mediante S VAR:
encontramos:
$m=9{,}9$ ( pulsando la tecla B de la penúltima pantalla, en S-VAR ) y $k=11{,}1$ ( pulsando la tecla A de la penúltima pantalla, en S-VAR )
luego la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ es $$y=9{,}9\,x+11{,}1$$

b)
Sustituyendo $x$ por $2{,}3$ en la ecuación de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, obtenemos $\hat{y}=33{,}87$.

También podemos emplear las utilidades de la calculadora, tecleando directamente ( en la última pantalla de S-VAR ):  $2{,}3$$\hat{y}$, obteniendo como respuesta $33{,}87$

c)
El coeficiente de correlación lineal podemos consultarlo también directamente en la penúltima pantalla de S-VAR, pulsando la tecla correspondiente a $r$, y obtenemos $r=0{,}9847$.

Recordemos que $-1 \le r \le 1$, por lo que el valor ( alto ) que hemos obtenido indica un buen ajuste; el signo positivo, indica que la función de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ ( y también la de $X$ sobre $Y$ ) tiene pendiente positiva, como ya hemos visto antes.

d)
La fuerza del ajuste viene dada por el coeficiente de determinación $R^2=(r)^2=0{,}9696$, que es un valor muy alto, pues hay que recordar que $0 \le R^2 \le 1 $ y, en este caso, está muy próximo a $1$.

$\square$

Estadística de dos variables. Regresión lineal.

ENUNCIADO. Se han realizado cinco observaciones de dos variables estadísticas $X$ e $Y$, obteniendo los siguientes datos:

Se pide:\par
a) La recta de regresión de $Y$ sobre $X$
b) El valor estimado $\hat{y}$, para $x=11$
c) La recta de regresión de $X$ sobre $Y$ \par
d) El valor estimado $\hat{x}$, para $y=7$ \par
e) El coeficiente de correlación lineal
f) El coeficiente de determinación

SOLUCIÓN.
Si representamos los puntos dados en un diagrama cartesiano, resulta muy razonable buscar una aproximación por mínimos cuadrados ( recta de regresión lineal). Podemos avanzar que la covarianza es positiva, así como el coeficiente de correlación lineal, pues las rectas de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ así como la r. de r.l. de $X$ sobre $Y$ tienen pendiente positiva, dada la disposición de los puntos en la nube.

En la realización de este ejercicio, dada su carácter práctico, se emplearan las utilidades de la calculadora científica Casio fx-82MS, en modo de "regresión lineal":
MODE 3 1

a)
Para obtener la recta de regresión de $Y$ sobre $X$, introducimos primero las parejas de datos $(x,y)$, entrando primero el valor $x$, pulsando la tecla ",", y luego el valor $y$, validando finalmente la entrada de la pareja de datos con la pulsación de la tecla M+:
5,2 M+
7,3 M+
10,4 M+
13,5 M+
15,6 M+
A continuación, podemos consultar en la calculadora los resultados mediante las teclas S-SUM ( valores de los sumatorios que aparecerían en las celdas de suma de una tabla ) y S-VAR ( valores de los parámetros de cada una de las dos variables, así como el del coeficiente de regresión, los coeficientes de la recta de regresión, e incluso el valor estimado $\hat{y}$ ( para $x=11$) que se pide ). Veamos estos resultados:

Ecuación de la recta de regresión lineal ( de $Y$ sobre $X$ ) en la forma punto-pendiente viene dada por $$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,(x-\bar{x})$$ que en forma explícita es $y=m\,x+k$. Con ayuda de la calculadora, los coeficientes obtenidos ( con cuatro dígitos significativos ) son: $k=0{,}1765$ ( S-VAR A ) y $m=0{,}3824$ ( S-VAR B ). Por tanto, la recta pedida es $y=0{,}3824\,x+0{,}1765$

Nota: Recordemos que $m=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}$, donde la covarianza, $s_{xy}$, se calcula mediante $\displaystyle \dfrac{1}{N}(\sum_{1=1}^{N}\,x_{i}\,y_{i})-\bar{x}\cdot \bar{y}$ y resulta ser $5{,}2$. Los valores de las medias y de las desviaciones estándar ( de $X$ y de $Y$ ) pueden consultarse mediante las utilidades S-VAR. El valor de la suma puede consultarse mediante las utilidades S-SUM.

b)
Sustituyendo $x$ ( en la ecuación de la recta de $Y$ sobre $X$ ) por $11$, encontramos: $\hat{y}=4{,}3823\approx 4,4$. Nota, esto podemos consultarlo directamente en la calculadora, mediante las pulsaciones de teclas: $11$ S-VAR $\hat{y}$.

c)
La recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ en forma punto-pendiente es $$x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^2}\,(y-\bar{y})$$ Con los datos y, expresándola en forma explícita, nos queda $$y=0{,}3846\,x+0{,}15$$

Observación: Las rectas de regresión lineal obtenidas ( de $Y$ sobre $X$, y de $X$ sobre $Y$ ) son casi paralelas, lo cual indica que el coeficiente de correlación lineal es muy alto ( muy próximo a $1$ )

d)
Consultando directamente en la calculadora, mediante las pulsaciones de teclas: $7$ S-VAR $\hat{x}$, obtenemos $\bar{x} \approx 17{,}8$. Nota: también podemos obtener este resultado sustituyendo los valores de los parámetros ( ya calculados ) así como el valor de $y$ dado ( que es $7$ ) en la ecuación de arriba.

e)
El coeficiente de correlación incorpora el signo de la covarianza y nos informa sobre la bondad del ajuste: $r\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_{xy}}{s_x\cdot s_y}=\dfrac{5{,}2}{3{,}6878 \cdot 1{,}4142}=0{,}9971$; al ser muy próximo a $1$, podemos afirmar que el ajuste realizado por regresión lineal es muy bueno.

f)
El coeficiente de determinación, $R^2 \overset{\text{def}}{=}r^2$, mide la fuerza del ajuste; su valor es igual a $R^2= (0{,}9971)^2=0{,}9942 \approx 99\,\%$, que es muy alto.
$\square$

Correlación entre dos variables estadísticas

ENUNCIADO. Se ha solicitado a un grupo de 50 personas información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir ( variable $X$ ), y a ver la televisión ( variable $Y$), obteniéndose:

a) Representar gráficamente la nube de puntos en un diagrama cartesiano
b) Escribir las fórmulas de los parámetros y medidas que permitan realizar la aproximación de regresión lineal: medias, varianzas y desviaciones ( estándar ) marginales, y covarianza
c) Preparar una tabla de simple entrada, con todas las columnas necesarias para indicar y ordenar los cálculos de los parámetros y medidas necesarias
d) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson, e interpretarlo en los términos del enunciado. Valorar la fuerza del ajuste por regresión lineal, calculando el coeficiente de determinación
e) Determinar la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, expresándola en la forma punto-pendiente
f) Si una persona duerme $8,5$ horas, ¿ cuántas horas cabe esperar que vea la televisión ?
g) Determinar la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$, expresándola en la forma punto-pendiente
h) Si una persona ve la televisión $2$ horas, ¿ cuánto tiempo cabe esperar que duerma ?
i) Representar las rectas de regresión ( de $Y$ sobre $X$, y de $X$ sobre $Y$ ) en el diagrama de la nube de puntos

SOLUCIÓN.
a)

b)
número de datos:
$N=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,f_\ell$

En el caso que nos ocupa, $n=5$ y $N=50$

medias:
$\bar{x}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,f_\ell$
$\bar{y}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_\ell\,f_\ell$

varianzas:
$s_{x}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{x})^2$
$s_{y}^2=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,y_{\ell}^2\,f_\ell-(\bar{y})^2$

desviaciones estándar:
$s_x=\sqrt{s_{x}^2}$
$s_x=\sqrt{s_{y}^2}$

covarianza:
$s_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{\ell=1}^{n}\,x_\ell\,y_\ell\,f_\ell-\bar{x}\cdot\bar{y}$

c)

Nota: En la celdas de suma, sólo aparecen los resultados que no proporciona directamente la calculadora científica ( tras haber introducido los puntos y sus frecuencias )

d)
Tras preparar la calculadora científica ( en modo de cálculo de regresión lineal ), introducimos los puntos y sus frecuencias para, después, consultar el valor de los parámetros y medidas necesarias; en particular, el coeficiente de correlación lineal de Pearson:
MODE REG (3)
  LIN (1)
    6,4;3 M+
          "n=3"
    7,3;16 M+
          "n=19"
    8,3;20 M+
          "n=39"
    9,2;10 M+
          "n=49"
    10,1;1 M+
          "n=50"

Consultando, ahora el coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$:
  S VAR (1)
    -> -> (3)
          $r=-0'8789 \prec 0$, lo cual indica que las funciones de regresión lineal ( tanto la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, como la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ son decrecientes

Valoremos, ahora, la fuerza del ajuste mediante el valor del coeficiente de determinación:
$R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2=(-0'879)^2 \approx 0'77 = 77\,\%$, que consideramos como aceptable.

e)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$

Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
  S VAR (1)
    (1)
          $\bar{x}=7'8$
    (2)
          $s_x=0'8944 \Rightarrow s_{x}^2\overset{\text{def}}{=}(s_x)^2=0'8944^2 \approx 0'8000$
    -> (1)
          $\bar{y}=2'82$

Poniendo estos valores en la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, obtenemos
$$y-2'82=\dfrac{-0'436}{0'8000}\,(x-7'8)$$
y despejando $y$, la podemos escribir en forma explícita:
$$y=-0'545\,x+7'071$$

Nota: También podemos consultar, directamente, el valor de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ) haciendo:
  S VAR (1)
    -> -> -> (A) ( que corresponde a $k$ )
    -> -> -> (B) ( que corresponde a $m$ )

f)
Si $x=8'5$, entonces de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, el valor aproximado que nos da el número de horas viendo la televisión es $$\hat{y}=-0'541\cdot 8'5+7'071 \approx 2'4\; \text{horas}$$

g)
Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:
$$x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$

Consultando, ahora, los valores de las medias y de la desviación estándar de $X$:
  S VAR (1)
    -> (2)
          $s_y=0'5546 \Rightarrow s_{y}^2\overset{\text{def}}{=}(s_y)^2=0'5546^2 \approx 0'3076$

por tanto,
$$x-7'8=\dfrac{0'436}{0'3076}\,(y-2'82)$$

ecuación que podemos expresar en forma explícita ( despejando $y$ ):
$$y=-0'7055\,x+8'3231$$

h)
Para $y=2$ deberíamos obtener un valor aproximado de $x$ muy próximo a $9$ horas ( de sueño ), pues viene como dato en las tablas; en efecto de la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ en forma punto-pendiente vemos que $$\hat{x}=7'8+\dfrac{(-0'436)}{0'3076}\cdot ( 2-2'82)=8'96 \approx 2\; \text{horas}$$

i)
Las rectas de regresión lineal, de $Y$ sobre $X$ y de $X$ sobre $Y$, pasan por el "centro de masas" $\bar{x}\,,\,\bar{y})$, cuyas coordenadas ya conocemos. Para representar las dos rectas, basta pues calcular un punto más para cada una de ellas, que, por comodidad, los escogeremos como los puntos de corte con el eje $Oy$; así, calculando las ordenadas en el origen de ambas rectas, obtenemos: $(0\,,\,8'3)$ para la recta de r.l. de $X$ sobre $Y$, y $(0\,,\,0'7071)$ para la recta de r.l. de $Y$ sobre $X$

$\square$