Ejemplo de suma de los $n$ primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica

Consideremos una sucesón aritmético-geométrica tal como $a_k=k\,r^k$, siendo $r$ constante y $k=1,2,\ldots,n$ (donde $n\in \mathbb{N})$. Nos planteamos resolver la suma $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\,k\,r^k$$ Obtendremos un importante resultante, que es muy útil a la hora de calcular esperanzas matemáticas (valores esperados de una variable aleatoria) en distribuciones de probabilidad discretas.

Por comodidad en la notación, denotaremos por $S_n$ la suma pedida: $$S_n=r+2\,r^2+3\,r^3+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^n\quad \quad (1)$$ Multiplicando por $r$ sendos miembros de (1) podemos escribir $$r\,S_n=r^2+2r^3+3\,r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n\,r^{n+1}\quad \quad (2)$$ Restando miembro a miembro (2) de (1) se obtiene $$S_n-r\,S_n=(r+r^2+r^3+r^4+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+r^n)-n\,r^{n+1}\quad \quad (3)$$ En el paréntesis del segundo miembro, reconocemos la suma de los $n$ primeros términos de una progresión (sucesión) geométrica de primer término $r$ y rázon (también) $r$, luego su suma —véase los artículos de este blog en los que se ha justificado la fórmula que usamos a continuación— es igual a $r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$; en cosecuencia, podemos expresar (3) de la forma $$S_n-r\,S_n=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (4)$$ Sacando factor común de $S_n$ en el primer miembro, $$S_n\,(1-r)=r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}\quad \quad (5)$$ Despejando $S_n$, se llega a $$\displaystyle S_n=\dfrac{r\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}-n\,r^{n+1}}{1-r}\quad \quad (5)$$ y arreglando un poco esta expresión, encontramos: $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(r-1)^2}\quad \quad (6)$$ que es equivalente a $$\displaystyle S_n=\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}\quad \quad (7)$$

Ejemplo

Sea la sucesión aritmético-geométrica $2,8,24,64,\,\ldots$, donde $r=2$. Hagamos algunas comprobaciones sencillas:

• Con sólo el primer sumando ($n=1$), deberíamos encontrar que $S_1=2$; en efecto, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_1=\dfrac{1\cdot 2^3-2\cdot 2^2+2}{(1-2)^2}=\dfrac{8-8+2}{^(-1)^2}=\dfrac{2}{1}=2$
• Con los dos primeros sumandos ($n=2$), deberíamos encontrar que $S_2=2+8=10$; en efecto, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_2=\dfrac{2\cdot 2^4-3\cdot 2^3+2}{(1-2)^2}=\dfrac{32-24+2}{^(-1)^2}=\dfrac{10}{1}=10$
• Con los tres primeros sumandos ($n=3$), deberíamos encontrar que $S_3=2+8+24=34$; así es, sustituyendo este valor de $n$ en (7): $S_3=\dfrac{3\cdot 2^5-4\cdot 2^4+2}{(1-2)^2}=\dfrac{96-64+2}{^(-1)^2}=\dfrac{34}{1}=34$

Observación (Suma de infinitos términos)

Es claro que la suma de infinitos términos solamente convergerá si $|r|\lt 1$. En tales condiciones, basta con pasar al límite la expresión (7) para $n\rightarrow \infty$: $$\displaystyle S_{\infty}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}\,\dfrac{n\,r^{n+2}-(n+1)\,r^{n+1}+r }{(1-r)^2}=\dfrac{r}{(1-r)^2}\quad \quad (8)$$

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Sucesiones aritmético-geométricas

Los términos de una sucesión aritmético-geométrica están formados por productos de dos factores de los cuales uno de ellos sigue una sucesión aritmética y el otro sigue una sucesión geométrica; o bien por cocientes, los numeradores de los cuales siguen una sucesión aritmética o geométrica y los denominadores una sucesión geométrica (si los numeradores siguen una s. aritmética) o aritmética (si los numeradores siguen una s. geométrica). Vamos a exponer cómo encontramos el término general de una sucesión de este tipo.

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo Consideremos la sucesión $$1,\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ esto es $$\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ Observemos que los numeradores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que son los números impares consecutivos; por otra parte, los denominadores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$ (las potencias consecutivas de base $2$, empezando por el exponente $0$), por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$c_n=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}\, \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $c_1=1$; en efecto: $c_1=\dfrac{2\cdot 1-1}{2^{1-1}}=\dfrac{1}{2^{0}}=\dfrac{1}{1}=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $c_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $c_2=\dfrac{2\cdot 2-1}{2^{2-1}}=\dfrac{4-1}{2^{1}}=\dfrac{3}{2}$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $c_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $c_3=\dfrac{2\cdot 3-1}{2^{2-1}}=\dfrac{6-1}{2^{2}}=\dfrac{5}{4}$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$c_{11}=\frac{2\cdot 11-1}{2^{11-1}}=\dfrac{22-1}{2^{10}}=\dfrac{21}{1024}$$

Ejemplo 2

Consideremos la sucesión $$1,6,20,56,144,\ldots$$ Puede comprobarse que dichos términos se puede escribir de la forma $$1\cdot 1, 3\cdot 2, 5\cdot 4,7 \cdot 8,9\cdot 16,\ldots$$ Observemos que los primeros factores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que, como en el primer ejemplo son los números impares consecutivos; por otra parte, los segundos factores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$, por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$d_n=a_{n}\cdot b_{n}=2^{n-1}\cdot (2n-1)\; \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $d_1=1$; en efecto: $d_1=a_{1}\cdot b_{1}=2^{1-1}\cdot (2\cdot 1-1)=2^{0}\cdot (2-1)=1\cdot 1=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $d_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $d_2=a_{2}\cdot b_{2}=2^{2-1}\cdot (2\cdot 2-1)=2^{1}\cdot (4-1)=2\cdot 3=6$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $d_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $d_3=a_{3}\cdot b_{3}=2^{3-1}\cdot (2\cdot 3-1)=2^{2}\cdot (6-1)=4\cdot 5=20$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$d_{11}=a_{11}\cdot b_{11}=2^{11-1}\cdot (2\cdot 11-1)=2^{10}\cdot (22-1)=1024\cdot 21=21\,504$$ $\diamond$