Enunciat:
Demostreu que la regla de derivació
\Big(x^{n}\Big)^{'}=n\,x^{n-1} \quad \quad \text{per a} \quad \ k \in \mathbb{N}
també és vàlida, en general, per a k \in \mathbb{R}
Resolució:
Considerem y=x^k
Extraiem logaritmes a cada membre
\ln{y}=k\,\ln{x}
i, derivant (a cada costat de la igualtat), podem escriure
\dfrac{1}{y}\,\cdot\,y^{'}=k\,\cdot\,\dfrac{1}{x}
llavors, aïllant y^{'} del primer membre
y^{'}=y\,\cdot\,\dfrac{k}{x}
que, donada la definició de y, s'escriu
y^{'}=x^{k}\,\cdot\,\dfrac{k}{x}
i, simplificant
y^{'}=k\,\cdot\, x^{k-1}
\square
[autoría]