Processing math: 7%

sábado, 8 de septiembre de 2012

Demostrar que la regla de derivación \Big(x^{n}\Big)^{'}=n\,x^{n-1} \quad \quad \text{per a} \quad \ k \in \mathbb{N} también es válida si k \in \mathbb{R} [ Artículo escrito en catalán ]

Enunciat:
  Demostreu que la regla de derivació
\Big(x^{n}\Big)^{'}=n\,x^{n-1} \quad \quad \text{per a} \quad \ k \in \mathbb{N}
també és vàlida, en general, per a k \in \mathbb{R}


Resolució:

Considerem y=x^k

Extraiem logaritmes a cada membre

\ln{y}=k\,\ln{x}

i, derivant (a cada costat de la igualtat), podem escriure

\dfrac{1}{y}\,\cdot\,y^{'}=k\,\cdot\,\dfrac{1}{x}

llavors, aïllant y^{'} del primer membre

y^{'}=y\,\cdot\,\dfrac{k}{x}

que, donada la definició de y, s'escriu

y^{'}=x^{k}\,\cdot\,\dfrac{k}{x}

i, simplificant

y^{'}=k\,\cdot\, x^{k-1}


\square

[autoría]