Demostrar que la regla de derivación $\Big(x^{n}\Big)^{'}=n\,x^{n-1} \quad \quad \text{per a} \quad \ k \in \mathbb{N}$ también es válida si $k \in \mathbb{R}$ [ Artículo escrito en catalán ]

Enunciat:
  Demostreu que la regla de derivació
$\Big(x^{n}\Big)^{'}=n\,x^{n-1} \quad \quad \text{per a} \quad \ k \in \mathbb{N}$
també és vàlida, en general, per a $k \in \mathbb{R}$

Resolució:

Considerem $y=x^k$

Extraiem logaritmes a cada membre

$\ln{y}=k\,\ln{x}$

i, derivant (a cada costat de la igualtat), podem escriure

$\dfrac{1}{y}\,\cdot\,y^{'}=k\,\cdot\,\dfrac{1}{x}$

llavors, aïllant $y^{'}$ del primer membre

$y^{'}=y\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

que, donada la definició de $y$, s'escriu

$y^{'}=x^{k}\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

i, simplificant

$y^{'}=k\,\cdot\, x^{k-1}$


$\square$

[autoría]