Ejercitando las reglas de derivación

Ejercicios de aplicación de las reglas de derivación:

1.
$\displaystyle y=2\,x^3+4\,x^2-5\,x+6$
  Solución:
    $\displaystyle y'=6\,x^2+8\,x-5$

2.

$\displaystyle y=\big(3\,x-7\big)^{456}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=456\,\cdot\,\big(3\,x-7\big)^{455}\,\cdot\,(3\,x-7)'$
          $\displaystyle = 1368\,\cdot\,\big(3\,x-7\big)^{455}$

3.

$\displaystyle y=\sqrt[8]{x^7}$
  Solución:
    $\displaystyle y=x^{\frac{7}{8}}$
    $\displaystyle y'=\frac{7}{8}\,x^{\frac{7}{8}-1}$
          $\displaystyle = \frac{7}{8}\,x^{-\frac{1}{8}}$
          $\displaystyle = \frac{7}{8\,\sqrt[8]{x}}$

4.

$\displaystyle y=2^{x+3}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=\ln{(2)}\,\cdot \, e^{x+3} \,\cdot \,(x+3)'$
          $\displaystyle = \ln{(2)}\,\cdot \, e^{x+3}$

5.

$\displaystyle y=\ln{(x+3)}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=\frac{1}{x+3} \,\cdot \,(x+3)'$
          $\displaystyle = \frac{1}{x+3}$

6.

$\displaystyle y=x\,\ln{(x+3)}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=x\,\cdot\,\big(\ln{(x+3)}\big)'+(x)'\,\cdot\,\ln{(x+3)}$
          $\displaystyle = \frac{x}{x+3}+\ln{(x+3)}$

7.

$\displaystyle y=x \cdot 2^{x+3}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=x\,\cdot\,\big(2^{x+3}\big)'+(x)'\,\cdot\,2^{x+3}$
          $\displaystyle = x \, \cdot \, \Big( \ln{2} \, \cdot \, 2^{x+3} \Big) + 2^{x+3} $
          $\displaystyle = 2^{x+3} \Big( x \, \cdot \, \ln{2} + 1 \Big)$

8.

$\displaystyle y=\sin{(x^2-x+1)}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=\big(\sin{(x^2-x+1)}\big)'\,\cdot\,\big(x^2-x+1\big)' $
          $\displaystyle = \cos{(x^2-x+1)} \, \cdot \, \big(2x-1\big)$

9.

$\displaystyle y=\dfrac{e^x}{x}$
  Solución:
    $\displaystyle y=e^x\,\cdot\,x^{-1}$
    $\displaystyle y'=x^{-1}\,\cdot\,\big(e^{x}\big)'+(x^{-1})'\,\cdot\,e^x$
          $\displaystyle = x^{-1}\,\cdot\,e^x+\big(-x^{-2}\big)\,\cdot\,e^x$
          $\displaystyle = e^{x}\,\big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\big)$
          $\displaystyle = \dfrac{x-1}{x^2}\,\cdot \, e^{x}$

9.

$\displaystyle y=\tan{x^3}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=\dfrac{1}{\cos^{2}{(x^3)}}\,\cdot\,(x^3)'$
    $\displaystyle y'=\dfrac{3\,x^2}{\cos^{2}{(x^3)}}$

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Hallar la función derivada ...

ENUNCIADO. Calcular la función derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$

b) $g(x)=x\,\ln\,x$

c) $h(x)=\sqrt[4]{x^5}+2x^3+6$

d) $l(x)=(2x-5)^3$

e) $m(x)=\dfrac{x+1}{x}$

SOLUCIÓN.
a)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funciones, $$f'(x)=\dfrac{(e^x)'\,x-(x)'\,e^x}{x^2}$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función exponencial y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,x-1\cdot e^x}{x^2}$$ y simplificando, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,(x-1)}{x^2}$$

b)
Aplicando la regla de derivación del producto de funciones, $$f'(x)=(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función logarítmica ( de base $e$ ) y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=1\cdot \ln\,x+x\cdot \dfrac{1}{x}$$ y simplificando, $$f'(x)=\ln\,x+1$$

c)
Podemos expresar el primer término de la forma $x^{\frac{5}{4}}$, con lo cual, la función propuesta podemos expresarla de forma más conveniente para empezar a derivarla: $$h(x)=x^{5/4}+2x^3+6$$ Aplicando, ahora, la regla de derivación de las funciones potenciales ( con base $x$ y exponente un número real ), término a término, y sumando las derivadas resultantes ( regla básica de la derivada de una suma ),
$h'(x)=9(x^{5/4})'+2\,(x^3)'+(6)'=\dfrac{5}{4}\,x^{5/4-1}+2\cdot 3\,x^2+0=\dfrac{5}{4}\,x^{1/4}+6\,x=$
            $=\dfrac{5}{4}\,\sqrt[4]{x}+6\,x$

d)
Aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales y la regla de la cadena, $$l'(x)=3\,(2x-5)^{3-1}\,(2x-5)'=3\,(2x-5)^2\cdot 2= 6\,(2x-5)^2$$

e)
Podemos expresar la función propuesta de forma que facilite su derivación, así: $$m(x)=\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}=1+x^{-1}$$ Entonces, aplicando la regla de la derivada de una suma de funciones, y la de la función potencial, $$m'(x)=(1)'+(x^{-1})'=0+(-1)\,x^{-1-1}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$$
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Demostrar que la regla de derivación $\Big(x^{n}\Big)^{'}=n\,x^{n-1} \quad \quad \text{per a} \quad \ k \in \mathbb{N}$ también es válida si $k \in \mathbb{R}$ [ Artículo escrito en catalán ]

Enunciat:
  Demostreu que la regla de derivació
$\Big(x^{n}\Big)^{'}=n\,x^{n-1} \quad \quad \text{per a} \quad \ k \in \mathbb{N}$
també és vàlida, en general, per a $k \in \mathbb{R}$

Resolució:

Considerem $y=x^k$

Extraiem logaritmes a cada membre

$\ln{y}=k\,\ln{x}$

i, derivant (a cada costat de la igualtat), podem escriure

$\dfrac{1}{y}\,\cdot\,y^{'}=k\,\cdot\,\dfrac{1}{x}$

llavors, aïllant $y^{'}$ del primer membre

$y^{'}=y\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

que, donada la definició de $y$, s'escriu

$y^{'}=x^{k}\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

i, simplificant

$y^{'}=k\,\cdot\, x^{k-1}$


$\square$

[autoría]