ENUNCIADO. Calcular la función derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
b) $g(x)=x\,\ln\,x$
c) $h(x)=\sqrt[4]{x^5}+2x^3+6$
d) $l(x)=(2x-5)^3$
e) $m(x)=\dfrac{x+1}{x}$
SOLUCIÓN.
a)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funciones, $$f'(x)=\dfrac{(e^x)'\,x-(x)'\,e^x}{x^2}$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función exponencial y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,x-1\cdot e^x}{x^2}$$ y simplificando, $$f'(x)=\dfrac{e^x\,(x-1)}{x^2}$$
b)
Aplicando la regla de derivación del producto de funciones, $$f'(x)=(x)'\,\ln\,x+x\,(\ln\,x)'$$ Y empleando, ahora, las reglas de derivación de la función logarítmica ( de base $e$ ) y de las funciones polinómicas, $$f'(x)=1\cdot \ln\,x+x\cdot \dfrac{1}{x}$$ y simplificando, $$f'(x)=\ln\,x+1$$
c)
Podemos expresar el primer término de la forma $x^{\frac{5}{4}}$, con lo cual, la función propuesta podemos expresarla de forma más conveniente para empezar a derivarla: $$h(x)=x^{5/4}+2x^3+6$$ Aplicando, ahora, la regla de derivación de las funciones potenciales ( con base $x$ y exponente un número real ), término a término, y sumando las derivadas resultantes ( regla básica de la derivada de una suma ),
$h'(x)=9(x^{5/4})'+2\,(x^3)'+(6)'=\dfrac{5}{4}\,x^{5/4-1}+2\cdot 3\,x^2+0=\dfrac{5}{4}\,x^{1/4}+6\,x=$
$=\dfrac{5}{4}\,\sqrt[4]{x}+6\,x$
d)
Aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales y la regla de la cadena, $$l'(x)=3\,(2x-5)^{3-1}\,(2x-5)'=3\,(2x-5)^2\cdot 2= 6\,(2x-5)^2$$
e)
Podemos expresar la función propuesta de forma que facilite su derivación, así: $$m(x)=\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}=1+x^{-1}$$ Entonces, aplicando la regla de la derivada de una suma de funciones, y la de la función potencial, $$m'(x)=(1)'+(x^{-1})'=0+(-1)\,x^{-1-1}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$$
$\square$
