Operar mediante la composición de funciones ... Calcular las funciones recíprocas ...

ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ y $g(x)=\sqrt{x}$. Se pide:
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$

SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$ por ser $f$ una función polinómica

b) $\text{Dom}\,g(x)=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, pues $-1$ anula el denominador de la función ( y no el numerador ), por lo que se tiene una división por $0$, y, por tanto, $-1$ no tiene imagen

c) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$

d) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x+1})=\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$

e) La función $f$ es inyectiva y biyectiva, la función recíproca $f^{-1}$ existe. Veamos cuál es. Escribiendo la función directa $y=f(x)$, $y=\dfrac{1}{x+1}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $e=\dfrac{1}{y+1}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=\dfrac{1-x}{x}$, luego $f^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{x}$

f) La función $g$ es inyectiva ( se sobrentiende que $\sqrt{x} \equiv \left|\sqrt{x}\right|$ ) y biyectiva, la función recíproca $g^{-1}$ existe. Veamos cuál es.Escribiendo la función directa $y=g(x)$, $y=\sqrt{x}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $x=\sqrt{y}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=x^2$, luego $g^{-1}(x)=x^2$

g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, ya que $0$ anula el denominador de $f^{-1}(x)$ y no el numerador, lo que causa una división por cero, y, por tanto no existe la imagen de $0$ por $f^{-1}$

h) g) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$

$\square$