ENUNCIADO. Determinar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos: $A(-2,0)$, $B(0,1)$ y $C(3,0)$. Según dicha función, ¿ qué ordenada le corresponde a un punto, $D$, de abscisa $1$ ( interpolación en el intervalo $[-2\,,\,3]$ ) ? ¿ Qué ordenada le corresponde a un punto $E$ de abscisa $3,1$ ( extrapolación a la derecha de $x=3$ ) ?
SOLUCIÓN. La función de interpolación cuadrática ( polinomio de segundo grado ) es $f(x)=a\,zx^2+b\,x+c$. Procedemos a calcular el valor de los coeficientes, teniendo en cuenta que las coordenadas de cada uno de los puntos dados ha de satisfacer la ecuación $y=f(x)$. Así,
$$\left\{\begin{matrix} (-2)^2\cdot a&+&(-2)\cdot b&+&c&=&0 \\ 0^2 \cdot a&+&0\cdot b&+&c&=&1 \\ 3^2 \cdot a&+& 3 \cdot b&+&c&=&0 \end{matrix}\right.$$
De la segunda ecuación, vemos que $c=1$; sustituyendo este valor en las otras dos ecuaciones, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 4\, a&-&2\, b&=&-1 \\ 9\, a&+&3\, b&=&-1 \end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $3$ los dos miembros de la primera ecuación, y por $2$ los de la segunda, podemos escribir el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 12\, a&-&6\, b&=&-3 \\ 18\, a&+&6\, b&=&-2 \end{matrix}\right.$$ sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, encontramos la siguiente ecuación equivalente $$30\,a=-5$$ de donde $a=-\dfrac{1}{6}$. Y sustituyendo en la primera ecuación, encontramos el valor de $b$, que es $b=\dfrac{1}{6}$. Con lo cual, la función pedida es $$f(x)=-\dfrac{1}{6}\,x^2+\dfrac{1}{6}\,x+1$$
Ya podemos calcular, ahora, las imágenes pedidas. Podemos comprobar ( sustituyendo $x$ por cada valor en la expresión de la función ) que la imagen de $1$ es $f(1)=1$, y la imagen de $3,1$ es $f(3,1)=-0,085$
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