Ejercicio de interpolación cuadrática ( método de los coeficientes indeterminados )

ENUNCIADO. Sean tres puntos del plano cartesiano $A(-1,1)$, $B(1,1)$ y $C(0,-1)$. Se pide:
a) Determinar el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pasa por estos tres puntos
b) Considerando un punto $P$ cuya abscisa es igual a $\dfrac{2}{3}$, ¿ cuál es la ordenada que le corresponde por interpolación ?

SOLUCIÓN.
a) El polinomio interpolador de segundo grado tiene la forma $P(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Para determinar el valor de los coeficientes $a,b$ y $c$, impondremos que la ecuación se cumpla para cada uno de los puntos ( método de los coeficientes indeterminados ). Así:
$$A: 1=a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c$$
$$B: 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$C: -1=a\cdot c= 2+b\cdot 0+c$$
da lugar al sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a&-&b& +&c& =& 1 \\ a&+&b& +&c& =& 1 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
Para obtener el sistema reducido por Gauss basta con restar la primera ecuación a la segunda ( término a término y miembro a miembro ) sustituyendo la segunda ecuación original por la que resulta de dicha combinación: $$\left\{\begin{matrix}a&-&b& +&c& =& 1 \\ &&2b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
con lo cual $$\left\{\begin{matrix}a&&& -&1& =& 1 \\ &&b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}a&&& && =& 2 \\ &&b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
Resulta así que $$P(x)=2\,x^2-1$$

b)
Sustituyendo la variable independiente por el valor dado,
$$P(2/3)=2\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2-1$$
y operando llegamos al valor pedido $$P(2/3)=-\dfrac{1}{9}$$
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Interpolación cuadrática

ENUNCIADO. Sean tres puntos del plano cartesiano $A(0,1)$, $B(2,4)$, $C(5,0)$
a) Determinar el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pasa por estos tres puntos
b) Considerando, ahora, un punto $P$ cuya abscisa es igual a $2{,}8$, ¿ cuál es la ordenada que le corresponde en la interpolación ?
c) Considérese ahora un valor $y=3{,}7$. De acuerdo con el polinomio interpolador, ¿ cuáles son las abscisas de los dos puntos que corresponden a dicha ordenada ?

SOLUCIÓN.
El polinomio interpolador es $P(x)=a\,x^2+b\,x+c$   (1). Procedemos a calcular los coeficentes $a,b$ y $c$, imponiendo que los puntos $A,B$ y $C$ satisfacen la ecuación (1) $$\left\{\begin{matrix}0^2\cdot a&+&0\cdot b& +& c& =& 1 \\ 2^2\cdot a&+&2\cdot b& +& c& =& 4 \\ 5^2\cdot a&+&5\cdot b& +& c& =& 0\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema obtenemos $$\begin{matrix}a=-\dfrac{17}{30} \\ b=\dfrac{79}{30} \\c= 1\end{matrix}$$ con lo cual $$P(x)=-\dfrac{17}{30}\,x^2+\dfrac{79}{30}\,x+1$$

b)
$$y_P \sim P(x_P)=P(2{,}8 )=P(14/5)=\dfrac{1474}{375}\approx 3,9$$

c)
$$\dfrac{37}{10}=-\dfrac{17}{30}\,x^2+\dfrac{79}{30}\,x+1$$ esto es $$-\dfrac{17}{30}\,x^2+\dfrac{79}{30}\,x-\dfrac{27}{10}=0 \Leftrightarrow 17\,x^2-79\,x+81=0$$ y resolviendo esta ecuación de segundo grado obtenemos $$x=\left\{\begin{matrix} \dfrac{79+\sqrt{733}}{34} \approx 3{,}1\\ \\ \dfrac{79-\sqrt{733}}{34}\approx 1{,}5 \end{matrix}\right.$$

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Hallar la función de interpolación lineal que pasa por los puntos ...

ENUNCIADO. Determinar la función de interpolación lineal que pasa por los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$. ¿ Cuál es la imagen de $0$ según dicha función ( interpolación en el intervalo $[-2\,,\,1]$ ) ? ¿ Cuál es la imagen de $1,4$ ( extrapolación a la derecha de $x=1$ ) ?.

SOLUCIÓN.
a)
La función de interpolación lineal es $f(x)=m\,x+k$, pues su gráfica es una recta; siendo $m$ la pendiente, y $k$ la ordenada en el origen de la misma. Para encontrar el valor de estos coeficientes, impondremos que los puntos $A(-2,1)$ y $B(1,3)$ estén en dicha recta, por lo cual deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}(-2)\cdot m &+& k&=&1\\1\cdot m &+& k&=& 3\end{matrix}\right.$$ que podemos resolver fácilmente sin más que restar la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, obteniendo la ecuación equivalente $$3m=2$$ de la cual deducimos que $m=\dfrac{2}{3}$. Sustituyendo dicho valor en cualquier de las dos ecuaciones originales, encontramos el valor de $k$, que resulta ser $k=\dfrac{7}{3}$. Así, la ecuación pedida es $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x+\dfrac{7}{3}$$

b)
La imagen de $x=0$ es $f(0)=\dfrac{2}{3} \cdot 0+\dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{3}$

c)
La imagen de $x=1,4=\dfrac{7}{5}$ es $f(\frac{7}{5})=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{5}+\dfrac{7}{3} = \dfrac{49}{15}$

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Hallar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos ...

ENUNCIADO. Determinar la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos: $A(-2,0)$, $B(0,1)$ y $C(3,0)$. Según dicha función, ¿ qué ordenada le corresponde a un punto, $D$, de abscisa $1$ ( interpolación en el intervalo $[-2\,,\,3]$ ) ? ¿ Qué ordenada le corresponde a un punto $E$ de abscisa $3,1$ ( extrapolación a la derecha de $x=3$ ) ?

SOLUCIÓN. La función de interpolación cuadrática ( polinomio de segundo grado ) es $f(x)=a\,zx^2+b\,x+c$. Procedemos a calcular el valor de los coeficientes, teniendo en cuenta que las coordenadas de cada uno de los puntos dados ha de satisfacer la ecuación $y=f(x)$. Así,
$$\left\{\begin{matrix} (-2)^2\cdot a&+&(-2)\cdot b&+&c&=&0 \\ 0^2 \cdot a&+&0\cdot b&+&c&=&1 \\ 3^2 \cdot a&+& 3 \cdot b&+&c&=&0 \end{matrix}\right.$$
De la segunda ecuación, vemos que $c=1$; sustituyendo este valor en las otras dos ecuaciones, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} 4\, a&-&2\, b&=&-1 \\ 9\, a&+&3\, b&=&-1 \end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $3$ los dos miembros de la primera ecuación, y por $2$ los de la segunda, podemos escribir el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 12\, a&-&6\, b&=&-3 \\ 18\, a&+&6\, b&=&-2 \end{matrix}\right.$$ sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, encontramos la siguiente ecuación equivalente $$30\,a=-5$$ de donde $a=-\dfrac{1}{6}$. Y sustituyendo en la primera ecuación, encontramos el valor de $b$, que es $b=\dfrac{1}{6}$. Con lo cual, la función pedida es $$f(x)=-\dfrac{1}{6}\,x^2+\dfrac{1}{6}\,x+1$$
Ya podemos calcular, ahora, las imágenes pedidas. Podemos comprobar ( sustituyendo $x$ por cada valor en la expresión de la función ) que la imagen de $1$ es $f(1)=1$, y la imagen de $3,1$ es $f(3,1)=-0,085$
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Un ejercicio de interpolación lineal

ENUNCIADO. Determinar la función lineal interpoladora, dados los puntos: $A(-1,1)$ y $B(1,2)$. ¿ Cuál es la imagen de $\dfrac{1}{2}$ según dicha función ? ¿ Cuál es la antiimagen de $7$ ?

SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=m\,x+k$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}1&=&m\cdot (-1)&+&k\\2&=&m\cdot 1&+&k\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}1&=&-m&+&k\\2&=&m&+&k\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $m=\dfrac{1}{2}$ y $k=\dfrac{3}{2}$, con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{2}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{4}$$
Y la ( la función $f$ es biyectiva ) antiimagen de $7$ corresponde a la solución de la ecuación $$7=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 14=x+3 \Leftrightarrow x=14-3=11$$
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Un ejercicio de interpolación cuadrática

ENUNCIADO. Determinar la función cuadrática interpoladora, dados los puntos: $A(-1,0)$, $B(0,-1)$ y $C(1,1)$. ¿ Qué ordenada le corresponde a un punto de abscisa $\dfrac{1}{3}$ según dicha función ? ¿ Cuáles son las antiimagenes de $2$ ?.

SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}0&=&a\cdot (-1)^2&+&b\cdot (-1)&+&c\\-1&=&a\cdot 0^2&+&b\cdot 0&+&c\\1&=&a\cdot 1^2&+&b\cdot 1&+&c\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}0&=&a&-&b&+&c\\-1&=&&&&&c\\1&=&a&+&b&+&c\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $a=\dfrac{3}{2}$, $b=\dfrac{1}{2}$ y $c=-1$ con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{3}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{2}\cdot (\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$$
Y las antiimágenes de $2$ son las soluciones de la ecuación $$2=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1 \Leftrightarrow 3\,x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{73}}{6}\\\\\dfrac{-1-\sqrt{73}}{6}\end{matrix}\right.$$
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