ENUNCIADO. Determinar la función cuadrática interpoladora, dados los puntos: $A(-1,0)$, $B(0,-1)$ y $C(1,1)$. ¿ Qué ordenada le corresponde a un punto de abscisa $\dfrac{1}{3}$ según dicha función ? ¿ Cuáles son las antiimagenes de $2$ ?.
SOLUCIÓN. La función pedida es del tipo $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Las coordenadas de los puntos dados han de satisfacer esta ecuación, por tanto $$\left\{\begin{matrix}0&=&a\cdot (-1)^2&+&b\cdot (-1)&+&c\\-1&=&a\cdot 0^2&+&b\cdot 0&+&c\\1&=&a\cdot 1^2&+&b\cdot 1&+&c\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}0&=&a&-&b&+&c\\-1&=&&&&&c\\1&=&a&+&b&+&c\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $a=\dfrac{3}{2}$, $b=\dfrac{1}{2}$ y $c=-1$ con lo cual la función interpoladora pedida es $$f(x)=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1$$
Entonces, la imagen de $\dfrac{1}{3}$ es igual a $$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{2}\cdot (\dfrac{1}{3})^2+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$$
Y las antiimágenes de $2$ son las soluciones de la ecuación $$2=\dfrac{3}{2}\,x^2+\dfrac{1}{2}\,x-1 \Leftrightarrow 3\,x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+\sqrt{73}}{6}\\\\\dfrac{-1-\sqrt{73}}{6}\end{matrix}\right.$$
$\square$
