a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
a) Las asíntotas verticales son rectas perpendiculares al eje de abscisas, y, por tanto, $\text{a.v.}:x=c$ donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\,f(x)=\pm \infty$. Puede comprobarse que los valores de $c$ son los que anulan el denominador de la función pedida ( no anulando a la vez el numerador ), y esto ocurre si $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$, esto es, si $c=\dfrac{1}{2}$. Hay, por tanto, sólo una asíntota vertical: $$\text{a.v.}:x=\dfrac{1}{2}$$
b) a) Las asíntotas oblicuas, son rectas cuya ecuación en forma explícita es $\text{a.o.}:y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( para $m=0$ se obtienen las asíntotas paralelas al eje de abscisas o asíntotas horizontales ) y $k$ la ordenada en el origen ). Procederemos en dos pasos: primero, calcularemos el valor de $m$; y, una vez conocido éste, calcularemos el valor de $k$.
Paso 1. Calculamos $m$ mediante la definición ( justificada en clase ): $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, que es equivalente a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$. Para el caso que nos ocupa, y por comodidad de cálculo, utilizaremos la segunda definición. Entonces $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5\,x^2}{2\,x^2-x}=\dfrac{5}{2}$
Paso 2. Calculamos $k$ despejando de $y=m\,x+k$, a la vez que pasamos al límite: $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{5x^2}{2x-1}-\dfrac{5}{2}\,x)=\dfrac{5}{4}$$
Hecho esto, ya podemos escribir la ecuación de la ( en este caso sólo hay una ) recta oblicua, $$\text{r.o.:}y=\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{5}{4}$$
Y, finalmente, observando además que la ordenada en el origen de la función es $0$ ( $f(0)=0$ ), ya podemos dibujar un esbozo de la gráfica de la función:
width=200$\square$
