SOLUCIÓN.
Debemos encontrar la ecuación de una recta $\text{r.t en P:}\;y=m\,x+k$ ( la escribimos en forma explícita ) tal que:
i) $m=f'(x_p)=f'(1)$
ii) $k=f(x_P)-m\,x$, donde sustituimos el valor de $m$ [ que habremos determinado en i) ] teniendo en cuenta, además, que, en $P$, han de coincidir las imágenes por $f$ y por la función lineal afín ( dada por la recta tangente en $P$ )
Procedamos al cálculo:
i) La función derivada de $f$ es $f'(x)=-2\,x$, luego $f'(1)=-2$ y, por tanto, $m=-2$
ii) Conocido ya el valor de la pendiente de la r.t., podemos escribir $y=-2\,x+k$. Como $y_{\text{r.t.}}$ ( en $P$ ) es igual a $f(1)=-1^2+3=2$, entonces $k=2-(-2)\cdot 1=4$
Por consiguiente, $$\text{r.t. en P:}\;y=-2\,x+4$$
Representación gráfica:
$\square$
