ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=\dfrac{1}{x}$ y $g(x)=\ln\,(x+1)$. Se pide:
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$
SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, esto es $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}^{*}$
b) $\text{Dom}\,g=\{x\in \mathbb{R}:x+1>0\}=(-2\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$
d) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x})=\ln\,(\dfrac{1}{x}+1))=\ln\,(\dfrac{x+1}{x})$
e) Si $y=\dfrac{1}{x}$ ( función $f(x)$ ), entonces $x=\dfrac{1}{y}$, luego la función recíproca es $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}$
f) Si $y=\ln\,(x+1)$ ( función $f(x)$ ), entonces $x+1=e^y$, y, por tanto, $x=e^y-1$, luego la función recíproca es $g^{-1}(x)=e^x-1$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}^*$ ( todos los números reales, a excepción del $0$, para evitar la división por cero )
h) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
$\square$
