Operar mediante la composición de funciones ... Calcular las funciones recíprocas ...

ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ y $g(x)=\sqrt{x}$. Se pide:
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$

SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$ por ser $f$ una función polinómica

b) $\text{Dom}\,g(x)=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, pues $-1$ anula el denominador de la función ( y no el numerador ), por lo que se tiene una división por $0$, y, por tanto, $-1$ no tiene imagen

c) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x})=\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$

d) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x+1})=\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$

e) La función $f$ es inyectiva y biyectiva, la función recíproca $f^{-1}$ existe. Veamos cuál es. Escribiendo la función directa $y=f(x)$, $y=\dfrac{1}{x+1}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $e=\dfrac{1}{y+1}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=\dfrac{1-x}{x}$, luego $f^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{x}$

f) La función $g$ es inyectiva ( se sobrentiende que $\sqrt{x} \equiv \left|\sqrt{x}\right|$ ) y biyectiva, la función recíproca $g^{-1}$ existe. Veamos cuál es.Escribiendo la función directa $y=g(x)$, $y=\sqrt{x}$ e intercambiando el papel de las variables tenemos $x=\sqrt{y}$; despejando ahora $y$, obtenemos $y=x^2$, luego $g^{-1}(x)=x^2$

g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, ya que $0$ anula el denominador de $f^{-1}(x)$ y no el numerador, lo que causa una división por cero, y, por tanto no existe la imagen de $0$ por $f^{-1}$

h) g) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$

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Un ejercicio de composición de funciones y de cálculo de funciones recíprocas

ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=\dfrac{1}{x}$ y $g(x)=\ln\,(x+1)$. Se pide:
a) El dominio de definición de $f$
b) El dominio de definición de $g$
c) La función $f \circ g$
d) La función $g \circ f$
e) La función $f^{-1}$ (recíproca de $f$)
f) La función $g^{-1}$ (recíproca de $g$)
g) El recorrido de la función $f$
h) El recorrido de la función $g$

SOLUCIÓN.
a) $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, esto es $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}^{*}$
b) $\text{Dom}\,g=\{x\in \mathbb{R}:x+1>0\}=(-2\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$
d) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\dfrac{1}{x})=\ln\,(\dfrac{1}{x}+1))=\ln\,(\dfrac{x+1}{x})$
e) Si $y=\dfrac{1}{x}$ ( función $f(x)$ ), entonces $x=\dfrac{1}{y}$, luego la función recíproca es $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}$
f) Si $y=\ln\,(x+1)$ ( función $f(x)$ ), entonces $x+1=e^y$, y, por tanto, $x=e^y-1$, luego la función recíproca es $g^{-1}(x)=e^x-1$
g) $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}^*$ ( todos los números reales, a excepción del $0$, para evitar la división por cero )
h) $\text{Rec}\,g=\text{Dom}\,g^{-1}=\mathbb{R}$
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Calcular el dominio de definición

ENUNCIADO. Calcular el dominio de definición de la función $$f(x)=\dfrac{\sqrt {x^2-5x+6 }}{x-3}$$

SOLUCIÓN. En primer lugar, podemos factorizar el polinomio del argumento de la raíz cuadrada $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ con lo cual la función podemos escribirla de la forma $$f(x)= \sqrt{\dfrac{x-2}{x-3}}$$ Así $$\text{Dom}\,f=\{x\in \mathbb{R}: \dfrac{x-2}{x-3} \ge 0 \}$$ Entonces $$\dfrac{x-2}{x-3} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2 \ge 0 \quad \text{y} \quad x-3 > 0 \rightarrow [2\,,\,+\infty) \cap (3\,,\,+\infty) = (3\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}\\ \\ \text{ó} \\ \\ x-2 \le 0 \quad \text{y} \quad x-3 < 0 \rightarrow (-\infty\,,\,2] \cap (-\infty\,,\,3) = (-\infty\,,\,2] \subset \mathbb{R} \end{matrix}\right.$$ De lo cual se deduce que $$\text{Dom}\,f=(-\infty\,,\,2] \cup ( 3\,,\,+\infty)$$ o lo que es lo mismo $$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus(2\,,\,3]$$
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