ENUNCIADO. Calcular el dominio de definición de la función $$f(x)=\dfrac{\left|\sqrt {x^2-5x+6 }\right|}{x-3}$$
SOLUCIÓN. En primer lugar, podemos factorizar el polinomio del argumento de la raíz cuadrada $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ con lo cual la función podemos escribirla de la forma $$f(x)=\left |\sqrt{\dfrac{x-2}{x-3}}\right|$$ Así $$\text{Dom}\,f=\{x\in \mathbb{R}: \dfrac{x-2}{x-3} \ge 0 \}$$ Entonces $$\dfrac{x-2}{x-3} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2 \ge 0 \quad \text{y} \quad x-3 > 0 \rightarrow [2\,,\,+\infty) \cap (3\,,\,+\infty) = (3\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}\\ \\ \text{ó} \\ \\ x-2 \le 0 \quad \text{y} \quad x-3 < 0 \rightarrow (-\infty\,,\,2] \cap (-\infty\,,\,3) = (-\infty\,,\,2] \subset \mathbb{R} \end{matrix}\right.$$ De lo cual se deduce que $$\text{Dom}\,f=(-\infty\,,\,2] \cup ( 3\,,\,+\infty)$$ o lo que es lo mismo $$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus(2\,,\,3]$$
$\square$
