Sea una función real de una variable real $f$, cuyo dominio de definición es $A=\text{Dom}\,f \in \mathbb{R}$ y cuyo recorrido es $B=\text{Rec}\,f \subset \mathbb{R}$. Entonces, si dicha función es biyectiva ( y para ello debe ser inyectiva y sobreyectiva ) puede hablarse de una función asociada a $f$, a la que llamamos recíproca de $f$ o ( y denotamos por $f^{-1}$ ), que envía cada imagen de $f$ ( cada elemento de $B$ ) en un elemento de $A$. Si una función $f$ tiene asociada una función recíproca $f^{-1}$, ésta es única. Cuando existe dicha función recíproca, se cumple que la recíproca de esta función es la función directa $f$. Y, también, una importante propiedad: la composición de la función directa con la recíproca ( por la derecha y por la izquierda ) es igual a la función identidad: $$f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f= Id$$ esto es $$(f \circ f^{-1})(x)=(f^{-1} \circ f)(x)=Id(x)=x$$ También se cumple otra importante propiedad: $$\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}$$ y $$\text{Rec}\,f^{-1}=\text{Dom}\,f$$
Ejemplo 1.
ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=2x+1$. ¿ Tiene función recíproca ? En caso afirmativo, ¿ qué función es ?
SOLUCIÓN. La función $f(x)=2x+1$, cuyo dominio de definición es $\text{Dom}=\mathbb{R}$ y cuyo recorrido es $\text{Rec}=\mathbb{R}$ es inyectiva y sobreyectiva, luego existe la función recíproca de $f$. Vamos ahora a determinarla. Como en la función recíproca, dado su significado, se permutan los papeles de las variables ( $x$ representa la variable dependiente e $y$ la independiente ); así, a partir de la función directa, que por comodidad escribimos $y=2x+1$, cambiamos una variable por otra y escribimos la ecuación $$x=2y+1$$ Despejando ahora $y$ se obtiene $y=\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{1}{2}$, y, por tanto concluimos que $$f^{-1}(x)= \dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{1}{2}$$
Ejemplo 2.
ENUNCIADO. Considérese la función $g(x)=\ln\,(x+1)$. ¿ Tiene función recíproca ? En caso afirmativo, ¿ qué función es ? ¿ Cuál es su recorrido ?
SOLUCIÓN. La función $g(x)=\ln\,(x+1)$, cuyo dominio de definición es $\text{Dom}=(-1\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$ es inyectiva ( ya que si $x_1=x_2$, $f(y_1)=f(y_2)$ ), y también es sobreyectiva ( puesto que para todo número real $y$ del conjunto de llegada se puede encontrar un elemento, $x$, del dominio de definición de $f$ tal que $y=\ln\,(X+1)$ ). Por tanto, $f$ es biyectia, luego existe la función recíproca de $f$. Vamos ahora a determinarla. Como en la función recíproca, dado su significado, se permutan los papeles de las variables independiente y dependiente ( para la recíproca, $x$ representa la variable dependiente e $y$ la independiente ); así, a partir de la función directa, que por comodidad escribimos $y=\ln\,(x+1)$, cambiamos una variable por otra y escribimos la ecuación $$x=\ln\,(y+1)$$ Despejando ahora $y$ se obtiene $y=e^x-1$, y, por tanto podemos escribir ya la función recíproca pedida de la forma $$f^{-1}(x)= e^x-1$$ El dominio de definición ( recíproca de $f$ ) de esta función, que es todo el conjunto de los números reales, $\mathbb{R}$, es igual ( de acuerdo a lo comentado arriba ) al recorrido de la función directa. Por consiguiente $\text{Rec}\,f=\text{Dom}\,f^{-1}=\mathbb{R}$. $\square$
