Nota preliminar ( Acerca de las funciones recíprocas ). Recordemos que una función inyectiva ( a la que denominaremos directa ) tiene asociada una función recíproca, que es única. Y que una ( directa ) y otra ( recíproca ) son mutuamente recíprocas.
Ejercicio 1.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función $f(x)=e^x$ es $f'(x)=e^x$ ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de $f$ ?
SOLUCIÓN. Para responder a esta pregunta, recurrimos a la propiedad general que expresa la relación entre la derivada de la función directa $f'(x)$, que podemos notar también de la forma $y'_x$ ( por comodidad de cálculo ) -- en la que $x$ tiene el papel de variable independiente e $y$ el de variable dependiente --, y la derivada de la función recíproca $(f^{-1}(x))'$, que notaremos también de la forma $x'_y$, en la que $y$ tiene el papel de variable independiente e $x$ el de variable dependiente ) $$y'_x=\dfrac{1}{x'_y} \; \quad \quad (1)$$
Como la función recíproca de $f(x)=e^x$ es $f^{-1}(x)=\ln\,x$, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando $$y=\ln\,x$$ escribiremos su recíproca de la forma $$x=e^y \; \quad \quad (2)$$ Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que $$x'_y=e^y \; \text{, por la información del enunciado}$$ Y, por la propiedad (1), tenemos $$y'_x=\dfrac{1}{e^y}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta (2), $$y'_x=\dfrac{1}{x}$$ Es decir, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{x}$$
Ejercicio 2.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función $f(x)=\sin(x)$ es $f'(x)=\cos(x)$ ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de $f$ ?
SOLUCIÓN. Procederemos como en el caso anterior. Como la función recíproca de $f(x)=\sin(x)$ es $f^{-1}(x)=\arcsin(x)$, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando $$y=\arcsin(x)\,,\quad 0 \le x \le \pi$$ su recíproca es $$x=\sin(y) \; \quad \quad (3)$$ Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que $$x'_y=\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$$ ( por la información del enunciado, y teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría ). Y, por la propiedad general, $y'_x=\dfrac{1}{x'_y}$, tenemos $$y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta (3), $$y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ Es decir, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$\square$
