ENUNCIADO. Los beneficios mensuales ( en unidades monetarias arbitrarias ) de una empresa dedicada a la fabricación de un cierto tipo de aparatos electrónicos dependen del número de aparatos fabricados, $x$ ( en miles de unidades ), según la función $f(x)=2\,x^3-15\,x^2+36\,x-19$. La empresa puede optar a producir entre $1$ millar y $3$ millares de aparatos. ¿Cuál es el número de aparatos se deberían fabricar para obtener beneficio máximo? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio máximo?
SOLUCIÓN. La condición necesaria para que existan extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función obtenemos $f'(x)=6\,x^2-30\,x+36$, e imponiendo la condición: $$6\,x^2-30\,x+36=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ 2 \end{matrix}\right.$$
Observemos que la primera derivada a la izquierda de $x_{1}^{*}=2$ es positiva ( por ejemplo, en $x=1$, $f'(1) > 0$ ) y a su derecha es negativa ( por ejemplo, en $x=3$, $f'(3) < 0$ ), luego $f$ alcanza un un máximo local en $x_{1}^{*}=2$ ( y como, para un polinomio, los máximos y mínimos se alternan, $f$ alcanza un mínimo en $x_{2}^*=3$ ). El máximo local encontrado es, además, el máximo absoluto de $f$ en el intervalo $[1\,,\,3]$ ); por tanto, habrá que producir $2$ millares de aparatos para obtener el benefició máximo; y el valor de éste es igual a $f(2)=2\cdot 2^3-15\cdot 2^2+36\cdot 2-19=9$ ( unidades monetarias arbitrarias ). $\square$
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domingo, 13 de marzo de 2016
Determinar la ecuación de la recta tangente ...
ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=-x^2+3$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=1$. Finalmente, representar la gráfica de la función y la gráfica de la recta tangente pedida en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
Debemos encontrar la ecuación de una recta $\text{r.t en P:}\;y=m\,x+k$ ( la escribimos en forma explícita ) tal que:
i) $m=f'(x_p)=f'(1)$
ii) $k=f(x_P)-m\,x$, donde sustituimos el valor de $m$ [ que habremos determinado en i) ] teniendo en cuenta, además, que, en $P$, han de coincidir las imágenes por $f$ y por la función lineal afín ( dada por la recta tangente en $P$ )
Procedamos al cálculo:
i) La función derivada de $f$ es $f'(x)=-2\,x$, luego $f'(1)=-2$ y, por tanto, $m=-2$
ii) Conocido ya el valor de la pendiente de la r.t., podemos escribir $y=-2\,x+k$. Como $y_{\text{r.t.}}$ ( en $P$ ) es igual a $f(1)=-1^2+3=2$, entonces $k=2-(-2)\cdot 1=4$
Por consiguiente, $$\text{r.t. en P:}\;y=-2\,x+4$$
Representación gráfica:
$\square$
SOLUCIÓN.
Debemos encontrar la ecuación de una recta $\text{r.t en P:}\;y=m\,x+k$ ( la escribimos en forma explícita ) tal que:
i) $m=f'(x_p)=f'(1)$
ii) $k=f(x_P)-m\,x$, donde sustituimos el valor de $m$ [ que habremos determinado en i) ] teniendo en cuenta, además, que, en $P$, han de coincidir las imágenes por $f$ y por la función lineal afín ( dada por la recta tangente en $P$ )
Procedamos al cálculo:
i) La función derivada de $f$ es $f'(x)=-2\,x$, luego $f'(1)=-2$ y, por tanto, $m=-2$
ii) Conocido ya el valor de la pendiente de la r.t., podemos escribir $y=-2\,x+k$. Como $y_{\text{r.t.}}$ ( en $P$ ) es igual a $f(1)=-1^2+3=2$, entonces $k=2-(-2)\cdot 1=4$
Por consiguiente, $$\text{r.t. en P:}\;y=-2\,x+4$$
Representación gráfica:
$\square$
Determinar las rectas asíntotas de la función ...
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=\dfrac{5x^2}{2x-1}$. Se pide:
a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
a) Las asíntotas verticales son rectas perpendiculares al eje de abscisas, y, por tanto, $\text{a.v.}:x=c$ donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\,f(x)=\pm \infty$. Puede comprobarse que los valores de $c$ son los que anulan el denominador de la función pedida ( no anulando a la vez el numerador ), y esto ocurre si $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$, esto es, si $c=\dfrac{1}{2}$. Hay, por tanto, sólo una asíntota vertical: $$\text{a.v.}:x=\dfrac{1}{2}$$
b) a) Las asíntotas oblicuas, son rectas cuya ecuación en forma explícita es $\text{a.o.}:y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( para $m=0$ se obtienen las asíntotas paralelas al eje de abscisas o asíntotas horizontales ) y $k$ la ordenada en el origen ). Procederemos en dos pasos: primero, calcularemos el valor de $m$; y, una vez conocido éste, calcularemos el valor de $k$.
Paso 1. Calculamos $m$ mediante la definición ( justificada en clase ): $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, que es equivalente a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$. Para el caso que nos ocupa, y por comodidad de cálculo, utilizaremos la segunda definición. Entonces $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5\,x^2}{2\,x^2-x}=\dfrac{5}{2}$
Paso 2. Calculamos $k$ despejando de $y=m\,x+k$, a la vez que pasamos al límite: $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{5x^2}{2x-1}-\dfrac{5}{2}\,x)=\dfrac{5}{4}$$
Hecho esto, ya podemos escribir la ecuación de la ( en este caso sólo hay una ) recta oblicua, $$\text{r.o.:}y=\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{5}{4}$$
Y, finalmente, observando además que la ordenada en el origen de la función es $0$ ( $f(0)=0$ ), ya podemos dibujar un esbozo de la gráfica de la función:
width=200
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a) Encontrar las ecuaciones de las rectas asíntotas
b) Representar gráficamente dichas rectas asíntotas y la gráfica de la función $f(x)$ en un mismo diagrama.
SOLUCIÓN.
a) Las asíntotas verticales son rectas perpendiculares al eje de abscisas, y, por tanto, $\text{a.v.}:x=c$ donde $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\,f(x)=\pm \infty$. Puede comprobarse que los valores de $c$ son los que anulan el denominador de la función pedida ( no anulando a la vez el numerador ), y esto ocurre si $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$, esto es, si $c=\dfrac{1}{2}$. Hay, por tanto, sólo una asíntota vertical: $$\text{a.v.}:x=\dfrac{1}{2}$$
b) a) Las asíntotas oblicuas, son rectas cuya ecuación en forma explícita es $\text{a.o.}:y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( para $m=0$ se obtienen las asíntotas paralelas al eje de abscisas o asíntotas horizontales ) y $k$ la ordenada en el origen ). Procederemos en dos pasos: primero, calcularemos el valor de $m$; y, una vez conocido éste, calcularemos el valor de $k$.
Paso 1. Calculamos $m$ mediante la definición ( justificada en clase ): $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, que es equivalente a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$. Para el caso que nos ocupa, y por comodidad de cálculo, utilizaremos la segunda definición. Entonces $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5\,x^2}{2\,x^2-x}=\dfrac{5}{2}$
Paso 2. Calculamos $k$ despejando de $y=m\,x+k$, a la vez que pasamos al límite: $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-mx)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{5x^2}{2x-1}-\dfrac{5}{2}\,x)=\dfrac{5}{4}$$
Hecho esto, ya podemos escribir la ecuación de la ( en este caso sólo hay una ) recta oblicua, $$\text{r.o.:}y=\dfrac{5}{2}\,x+\dfrac{5}{4}$$
Y, finalmente, observando además que la ordenada en el origen de la función es $0$ ( $f(0)=0$ ), ya podemos dibujar un esbozo de la gráfica de la función:
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viernes, 22 de enero de 2016
Función derivada de algunas funciones recíprocas
Nota preliminar ( Acerca de las funciones recíprocas ). Recordemos que una función inyectiva ( a la que denominaremos directa ) tiene asociada una función recíproca, que es única. Y que una ( directa ) y otra ( recíproca ) son mutuamente recíprocas.
Ejercicio 1.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función $f(x)=e^x$ es $f'(x)=e^x$ ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de $f$ ?
SOLUCIÓN. Para responder a esta pregunta, recurrimos a la propiedad general que expresa la relación entre la derivada de la función directa $f'(x)$, que podemos notar también de la forma $y'_x$ ( por comodidad de cálculo ) -- en la que $x$ tiene el papel de variable independiente e $y$ el de variable dependiente --, y la derivada de la función recíproca $(f^{-1}(x))'$, que notaremos también de la forma $x'_y$, en la que $y$ tiene el papel de variable independiente e $x$ el de variable dependiente ) $$y'_x=\dfrac{1}{x'_y} \; \quad \quad (1)$$
Como la función recíproca de $f(x)=e^x$ es $f^{-1}(x)=\ln\,x$, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando $$y=\ln\,x$$ escribiremos su recíproca de la forma $$x=e^y \; \quad \quad (2)$$ Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que $$x'_y=e^y \; \text{, por la información del enunciado}$$ Y, por la propiedad (1), tenemos $$y'_x=\dfrac{1}{e^y}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta (2), $$y'_x=\dfrac{1}{x}$$ Es decir, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{x}$$
Ejercicio 2.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función $f(x)=\sin(x)$ es $f'(x)=\cos(x)$ ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de $f$ ?
SOLUCIÓN. Procederemos como en el caso anterior. Como la función recíproca de $f(x)=\sin(x)$ es $f^{-1}(x)=\arcsin(x)$, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando $$y=\arcsin(x)\,,\quad 0 \le x \le \pi$$ su recíproca es $$x=\sin(y) \; \quad \quad (3)$$ Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que $$x'_y=\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$$ ( por la información del enunciado, y teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría ). Y, por la propiedad general, $y'_x=\dfrac{1}{x'_y}$, tenemos $$y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta (3), $$y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ Es decir, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$\square$
Ejercicio 1.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función $f(x)=e^x$ es $f'(x)=e^x$ ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de $f$ ?
SOLUCIÓN. Para responder a esta pregunta, recurrimos a la propiedad general que expresa la relación entre la derivada de la función directa $f'(x)$, que podemos notar también de la forma $y'_x$ ( por comodidad de cálculo ) -- en la que $x$ tiene el papel de variable independiente e $y$ el de variable dependiente --, y la derivada de la función recíproca $(f^{-1}(x))'$, que notaremos también de la forma $x'_y$, en la que $y$ tiene el papel de variable independiente e $x$ el de variable dependiente ) $$y'_x=\dfrac{1}{x'_y} \; \quad \quad (1)$$
Como la función recíproca de $f(x)=e^x$ es $f^{-1}(x)=\ln\,x$, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando $$y=\ln\,x$$ escribiremos su recíproca de la forma $$x=e^y \; \quad \quad (2)$$ Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que $$x'_y=e^y \; \text{, por la información del enunciado}$$ Y, por la propiedad (1), tenemos $$y'_x=\dfrac{1}{e^y}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta (2), $$y'_x=\dfrac{1}{x}$$ Es decir, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{x}$$
Ejercicio 2.
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de la función $f(x)=\sin(x)$ es $f'(x)=\cos(x)$ ¿ Cuál es la derivada de la función recíproca de $f$ ?
SOLUCIÓN. Procederemos como en el caso anterior. Como la función recíproca de $f(x)=\sin(x)$ es $f^{-1}(x)=\arcsin(x)$, se trata de determinar la derivada de esta segunda función. Denotando $$y=\arcsin(x)\,,\quad 0 \le x \le \pi$$ su recíproca es $$x=\sin(y) \; \quad \quad (3)$$ Como sabemos derivar esta función, podemos escribir que $$x'_y=\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$$ ( por la información del enunciado, y teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría ). Y, por la propiedad general, $y'_x=\dfrac{1}{x'_y}$, tenemos $$y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}$$ Ahora bien, teniendo en cuenta (3), $$y'_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ Es decir, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
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