Aplicación de la derivada a la optimización

ENUNCIADO. El beneficio neto mensual, en decenas de miles de euros, de una empresa que fabrica ciertos dispositivos viene dado por la función $$B(x)=1,2\,x-(0,1\,x)^3$$ donde $x$ es el número de dispositivos fabricados en un mes. Calcúlese la producción mensual que maximiza el beneficio, así como el valor máximo del mismo.

SOLUCIÓN.
La función $B(x)$ está definida ( atendiendo al significado de la misma ) para $x \ge 0$, tal como se muestra en el gráfico ( que no es necesario dibujar en el examen ). Para maximizar el beneficio, encontraremos primero los máximos relativos ( entre los extremos relativos de la función ) y, a partir, de estos, deduciremos el máximo absoluto.

Veamos, pues, cuáles son los extremos relativos. Imponiendo la condición necesaria $B'(x)=0$, obtenemos $$0=1,2-3\,(0,1\,x)^2\cdot (0,1x)'$$ es decir $$0=1,2-0,003\,x^2$$ luego los extremos relativos que aparecen tienen por abscisas $$x_{1}^{*}=-20 \quad \text{y}\quad x_{2}^{*}=20$$ Es evidente que la primera cae fuera del dominio de definición de la función.

Comprobemos, ahora, que la segunda corresponde a un máximo; para ello, empleamos el criterio del signo de la segunda derivada. La derivada segunda es $$B''(x)=-0,003x$$ luego $B''(x_{2}^{*})=B''(20)=-0,003\cdot 20 < 0$ y, por consiguiente, queda probado que esta segunda abscisa corresponde a un máximo relativo o local. Además, la función no presenta otros máximos relativos, luego el máximo es también absoluto, luego la abscisa encontrada da respuesta a la primera pregunta: la producción mensual que maximiza el beneficio es de $20$ unidades. Y dicho beneficio máximo es igual a $B(20)=1,2\cdot 20-(0,1\cdot 20)^3=16$ decenas de miles de euros.

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Aplicaciones de la derivada. Optimización.

ENUNCIADO. Una alambre de $100$ metros de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los trozos se forma una circunferencia, y con el otro un cuadrado. Calcular las longitudes que deben tener dichos trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la longitud de uno de los trozos, entonces la longitud del otro trozo es $100-x$. Con uno de los trozos, pongamos que con el primero, formamos un cuadrado, de lado $\dfrac{x}{4}$, cuya área es $(\dfrac{x}{4})^2$; y, con el segundo trozo formamos una circunferencia, cuyo radio ha de ser $\dfrac{100-x}{2\,\pi}$, y, por tanto el área del círculo delimitado por dicha circunferencia es $\pi\,(\dfrac{100-x}{2\,\pi})^2$ que simplificado queda $\dfrac{(100-x)^2}{4\,\pi}$. La suma del área del cuadrado y del círculo es pues la siguiente función de $x$, $$f(x)=\dfrac{1}{16}\,x^2+\dfrac{(100-x)^2}{4\,\pi}$$

La condición necesaria de existencia de extremos relativos es $f'(x)=0$. Entonces, como la derivada de $f(x)$ es $f'(x)=\dfrac{4+\pi}{8\,\pi}\,x-\dfrac{50}{\pi}$, tenemos $$\dfrac{4+\pi}{8\,\pi}\,x-\dfrac{50}{\pi}=0 \Leftrightarrow x^*=\dfrac{400}{\pi+4}$$

Esta abscisa corresponder a un mínimo relativo, pues $f(x)$ es una función cuadrática en la que el coeficiente del término de grado dos es mayor que cero, por lo que dicho mínimo relativo es, además, el mínimo absoluto de la función.

Así, las longitudes de los dos trozos ( en las condiciones pedidas son ):
$\dfrac{400}{\pi+4} \; \text{cm}$
y
$100-\dfrac{400}{\pi+4}=100\cdot \dfrac{\pi}{\pi+4} \; \text{cm}$, respectivamente. $\square$

Encontrar el máximo de la función teniendo en cuenta que ...

ENUNCIADO. Los beneficios mensuales ( en unidades monetarias arbitrarias ) de una empresa dedicada a la fabricación de un cierto tipo de aparatos electrónicos dependen del número de aparatos fabricados, $x$ ( en miles de unidades ), según la función $f(x)=2\,x^3-15\,x^2+36\,x-19$. La empresa puede optar a producir entre $1$ millar y $3$ millares de aparatos. ¿Cuál es el número de aparatos se deberían fabricar para obtener beneficio máximo? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio máximo?

SOLUCIÓN. La condición necesaria para que existan extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función obtenemos $f'(x)=6\,x^2-30\,x+36$, e imponiendo la condición: $$6\,x^2-30\,x+36=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ 2 \end{matrix}\right.$$
Observemos que la primera derivada a la izquierda de $x_{1}^{*}=2$ es positiva ( por ejemplo, en $x=1$, $f'(1) > 0$ ) y a su derecha es negativa ( por ejemplo, en $x=3$, $f'(3) < 0$ ), luego $f$ alcanza un un máximo local en $x_{1}^{*}=2$ ( y como, para un polinomio, los máximos y mínimos se alternan, $f$ alcanza un mínimo en $x_{2}^*=3$ ). El máximo local encontrado es, además, el máximo absoluto de $f$ en el intervalo $[1\,,\,3]$ ); por tanto, habrá que producir $2$ millares de aparatos para obtener el benefició máximo; y el valor de éste es igual a $f(2)=2\cdot 2^3-15\cdot 2^2+36\cdot 2-19=9$ ( unidades monetarias arbitrarias ). $\square$