ENUNCIADO. Una alambre de $100$ metros de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los trozos se forma una circunferencia, y con el otro un cuadrado. Calcular las longitudes que deben tener dichos trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la longitud de uno de los trozos, entonces la longitud del otro trozo es $100-x$. Con uno de los trozos, pongamos que con el primero, formamos un cuadrado, de lado $\dfrac{x}{4}$, cuya área es $(\dfrac{x}{4})^2$; y, con el segundo trozo formamos una circunferencia, cuyo radio ha de ser $\dfrac{100-x}{2\,\pi}$, y, por tanto el área del círculo delimitado por dicha circunferencia es $\pi\,(\dfrac{100-x}{2\,\pi})^2$ que simplificado queda $\dfrac{(100-x)^2}{4\,\pi}$. La suma del área del cuadrado y del círculo es pues la siguiente función de $x$, $$f(x)=\dfrac{1}{16}\,x^2+\dfrac{(100-x)^2}{4\,\pi}$$
La condición necesaria de existencia de extremos relativos es $f'(x)=0$. Entonces, como la derivada de $f(x)$ es $f'(x)=\dfrac{4+\pi}{8\,\pi}\,x-\dfrac{50}{\pi}$, tenemos $$\dfrac{4+\pi}{8\,\pi}\,x-\dfrac{50}{\pi}=0 \Leftrightarrow x^*=\dfrac{400}{\pi+4}$$
Esta abscisa corresponder a un mínimo relativo, pues $f(x)$ es una función cuadrática en la que el coeficiente del término de grado dos es mayor que cero, por lo que dicho mínimo relativo es, además, el mínimo absoluto de la función.
Así, las longitudes de los dos trozos ( en las condiciones pedidas son ):
$\dfrac{400}{\pi+4} \; \text{cm}$
y
$100-\dfrac{400}{\pi+4}=100\cdot \dfrac{\pi}{\pi+4} \; \text{cm}$, respectivamente. $\square$
