ENUNCIADO. La probabilidad de que un tirador dé en el blanco en un disparo es $0{,}6$. Si efectúa tres disparos, calcular:
a) la probabilidad de acertar al menos dos veces
b) el número de disparos que debería efectuar para que la probabilidad de acertar al menos una vez fuese mayor que $0{,}8$
SOLUCIÓN.
a)
La variable aleatoria $X$ ( "número de aciertos" ) toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3\}$, entonces:
$P\{X \ge 2\}=P\{X=2\}+P\{X=3\}=\displaystyle \binom{3}{2}\cdot 0{,}6^2\cdot (1-0{,}6)^{3-2}=0{,}432$
b)
Si $P\{X \ge 1\} \succ 0{,}8$, entonces $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{n-i} \succ 0{,}8$. Procedemos, ahora, a ensayar valores crecientes de $n$ para ver si se cumple o no lo que se requiere en esta segunda pregunta. Es claro que con un disparo ( $n:=1$ ) la probabilidad de acertar es $0{,}6$ que es menor que $0{,}8$, por lo que el tirador debe realizar más de un disparo; probemos con $n:=2$ disparos, en este caso $P\{X \ge 1\}$ es igual a $\displaystyle \sum_{i=1}^{2}\,\displaystyle \binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{2-i}=0{,}84 \succ 0{,}8$, luego con dos disparos basta para que la probabilidad de acertar al menos una vez sea mayor que $0{,}8$
$\square$
