ENUNCIADO. Considerar una moneda tal que la probabilidad de que, al ser lanzada, salga cara, es igual a $\dfrac{1}{3}$. Imaginemos ahora que realizamos lanzamientos sucesivos hasta que aparece cara, tras lo cual acaba el experimento. ¿ Hasta cuántos lanzamientos tendríamos que realizar para que la probabilidad de que salga cara sea del $90\,\%$ ?.
SOLUCIÓN. Ses $n$ el número de lanzamientos que debemos realizar, entonces la cara puede haber aparecido en algún de estos lanzamientos. Como el suceso "aparecer cara en el $i$-ésimo lanzamiento" ( $ i=1,2,\ldots $ ) es incompatible con el suceso "haber aparecido cara en el $j$-ésimo lanzamiento" ( $j \prec i $ ), podemos plantear la siguiente igualdad $$\displaystyle \sum_{i=1}^n \,P\{X=i\}=0{,}90$$ donde la variable aleatoria $X$( "número de orden de aparición de la cara" ) sigue una distribución geométrica ( o de Pascal ), y, por tanto, $P\{X=i\}=q^{i-1}\cdot p$, siendo en este caso $p=\dfrac{1}{3}$ ( la probabilidad de éxito ) y $q=1-p=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ ( la probabilidad de fracaso ). Así, tenemos que
$$\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1}\cdot \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\cdot \dfrac{1}{3}+\ldots+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\cdot \dfrac{1}{3}=0{,}90$$
[ Nota: lo que estamos haciendo es fijar el valor de la función de distribución de probabilidad, $F(x)$, en un $90\,\%$ ] que podemos expresar de la forma $$\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{2}{3}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\ldots+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\right)=0{,}90$$ el segundo factor del primer miembro es una serie geométrica de $n-1$ términos, de razón $2/3$, y primer término igual a $1$; luego, su suma es igual a $\dfrac{(2/3)^{n-1}-1}{(2/3)-1}$; así, llegamos a $$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{(2/3)^{n-1}-1}{-1/3}$$ que resulta ser $$1-(2/3)^{n-1}$$ por tanto $$1-(2/3)^{n-1}=0{,}90$$ es decir $$(2/3)^{n-1}=1-0{,}90$$ Para despejar $n$ sacamos logaritmos en cada miembro, con lo cual $$n-1=\dfrac{\ln\,0{,}1}{\ln\,(2/3)}$$ y por tanto $$n=\dfrac{\ln\,0{,}1}{\ln\,(2/3)}+1 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 7\; \text{lanzamientos}$$
$\square$
