ENUNCIADO. Sea X es una variable aleatoria de una distribución $N(µ, σ)$, calcular $P\{\mu−3\sigma \le X \le \mu+3\,\sigma\}$
SOLUCIÓN.
$P\{\mu−3\sigma \le X \le \mu+3\,\sigma\}=$
$=P\{X \le \mu+3\,\sigma\}-P\{X \le \mu-3\,\sigma\}$
$=P\{Z \le \dfrac{(\mu+3\,\sigma)-\sigma}{\sigma}\}-P\{Z \le \dfrac{(\mu-3\,\sigma)-\sigma}{\sigma}\}$ ( tipificando ( transformado ) la variable $X \rightarrow Z$: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$, correspondiendo a ésta una distribución $N(0,1)$ )
$=P\{Z \le 3\}-P\{Z \le -3\}$
$=P\{Z \le 3\}-P\{Z \ge 3\}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ con respecto al eje de ordenadas )
$=P\{Z \le 3\}-(1-P\{Z \le 3\})$ ( por la propiedad del contrario )
$=2\,P\{Z \le 3\}-1$
$=2\,F(3)-1$, donde $F(z)$ es la función de distribución de probabilidad, $N(0,1)$
$=2 \cdot 0{,}9987-1$ ( consultando las tablas de la distribución de probabilidad $N(0,1)$ )
$=0{,}9974$
$\square$
