ENUNCIAR. Demostrar que la varianza de una variable aleatoria $X$ binomial $B(n,p)$ es igual a $n\cdot p \cdot q$
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que una variable binomial $X:B(n,p)$ es la suma de $n$ variables independientes de Bernoulli $X_j:B(1,p)$ ( donde $j=1\,2,\ldots,n$ ), y que la varianza de la distribución de Bernoulli es $V[X_i]=(1-p)^2\,p+(0-p)^2\,(1-p)=p\,(1-p)=p\cdot q$, aplicando la propiedad de la esperanza matemática $V[X_1+\ldots+X_n] = V[X_1]+\ldots+V[X_n]$ ( que es válida si las variables $X_1$,$\ldots$,$X_n$ son independientes ), en el caso que nos ocupa obtenemos, $p\cdot q+\ldots+p\cdot q=n\,p\,q$, con lo cual $V[X]=n\cdot p\cdot q$
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