a) Determinar el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pasa por estos tres puntos
b) Considerando, ahora, un punto $P$ cuya abscisa es igual a $2{,}8$, ¿ cuál es la ordenada que le corresponde en la interpolación ?
c) Considérese ahora un valor $y=3{,}7$. De acuerdo con el polinomio interpolador, ¿ cuáles son las abscisas de los dos puntos que corresponden a dicha ordenada ?
SOLUCIÓN.
El polinomio interpolador es $P(x)=a\,x^2+b\,x+c$ (1). Procedemos a calcular los coeficentes $a,b$ y $c$, imponiendo que los puntos $A,B$ y $C$ satisfacen la ecuación (1) $$\left\{\begin{matrix}0^2\cdot a&+&0\cdot b& +& c& =& 1 \\ 2^2\cdot a&+&2\cdot b& +& c& =& 4 \\ 5^2\cdot a&+&5\cdot b& +& c& =& 0\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema obtenemos $$\begin{matrix}a=-\dfrac{17}{30} \\ b=\dfrac{79}{30} \\c= 1\end{matrix}$$ con lo cual $$P(x)=-\dfrac{17}{30}\,x^2+\dfrac{79}{30}\,x+1$$
b)
$$y_P \sim P(x_P)=P(2{,}8 )=P(14/5)=\dfrac{1474}{375}\approx 3,9$$
c)
$$\dfrac{37}{10}=-\dfrac{17}{30}\,x^2+\dfrac{79}{30}\,x+1$$ esto es $$-\dfrac{17}{30}\,x^2+\dfrac{79}{30}\,x-\dfrac{27}{10}=0 \Leftrightarrow 17\,x^2-79\,x+81=0$$ y resolviendo esta ecuación de segundo grado obtenemos $$x=\left\{\begin{matrix} \dfrac{79+\sqrt{733}}{34} \approx 3{,}1\\ \\ \dfrac{79-\sqrt{733}}{34}\approx 1{,}5 \end{matrix}\right.$$
$\square$
