ENUNCIADO. Un cajón contiene: $6$ tarjetas blancas, de las cuales $2$ tienen pintado un círculo rojo; y, $10$ tarjetas negras, de las cuales $3$ también tienen pintado un círculo rojo. Se elige una tarjeta al azar. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que la tarjeta elegida tenga pintado un círculo rojo
b) La tarjeta elegida ha resultado tener pintado un círculo rojo y no sabemos de qué color es la tarjeta, ¿ cuál es la probabilidad de que sea blanca ? ¿ y de que sea negra ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $B$ al suceso "extraer tarjeta blanca"; por $N$, al suceso "extraer tarjeta negra", y por $R$ al sucesos "extraer tarjeta con círculo rojo". Entonces:
a)
$R=(R \cap B ) \cup ( R \cap N )$, luego $P(R)=P((R \cap B ) \cup ( R \cap N ))$ y como $R \cap B$ y $R \cap N$ son sucesos disjuntos ( incompatibles ), podemos escribir $$P(R)=P(R \cap B ) + P( R \cap N )$$ y por la definición de probabilidad condicionada, llegamos a la expresión de la probabilidad total $$P(R)=P(R | B)\cdot P(B) + P( R | N )\cdot P(N)$$ que, con los datos del problema, queda
$$P(R)=\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{6}{16} + \dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{10}{16}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{5}{16}\approx 31\,\%$$
b)
Por el teorema de Bayes, $$P(B|R)=\dfrac{P(R|B}{P(R)}$$ luego $$P(B|R)=\dfrac{1/8}{5/16}=\dfrac{2}{5}=40\,\%$$
y, finalmente, $P(N|R)=P(\bar{B}|R)=1-P(B|R)$, luego
$$P(N|R)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}=60\,\%$$
$\square$
