ENUNCIADO. En una caja hay $5$ bolas rojas y $8$ bolas blancas. Se eligen tres bolas a la vez. Se pide:
a) La probabilidad de que exactamente dos de las tres bolas sean rojas \par
b) La probabilidad de que al menos dos de las tres bolas sean rojas. \par
c) La probabilidad de que ninguna sea roja
SOLUCIÓN.
La variable natural, $X$ ( número de bolas rojas que aparecen en el grupo de tres bolas extraídas ), que se ajusta a la situación descrita en el problema es de tipo hipergeométrico, tomando valores en el conjunto $\{0,1,2,3\}$. Así, la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{x}\cdot \binom{8}{3-x}}{\binom{13}{3}}$$ por consiguiente:
a)
$$P\{X=2\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{2}\cdot \binom{8}{3-2}}{\binom{13}{3}}=\dfrac{40}{143}\approx 28\,\%$$
b)
$$P\{2 \le X \le 3\}=P\{X=2\}+P\{X=3\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{2}\cdot \binom{8}{3-2}}{\binom{13}{3}}+\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{8}{3-3}}{\binom{13}{3}}=\dfrac{45}{143}\approx 31\,\%$$
c)
$$P\{X=0\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{0}\cdot \binom{8}{3-0}}{\binom{13}{3}}=\dfrac{28}{143} \approx 20\,\%$$
$\square$
