Ejercicios con la distribución binomial

ENUNCIADO. En una caja hay $3$ bolas negras y $2$ bolas blancas. Se extraen tres bolas de la urna, de forma sucesiva y con reemplazamiento. Se pide:
a) La probabilidad de que al menos una de las tres bolas sea blanca
b) La probabilidad de que ninguna sea negra

SOLUCIÓN.

a)
La probabilidad de que al sacar una bola sea blanca es $p=\dfrac{2}{5}$ y de que sea negra $q=1-p=\dfrac{3}{5}$. La variable aleatoria que manejamos, $X$, sigue una distribución binomial $B(3,2/5)$ y toma valores en el conjunto de números enteros no negativos $\{0,1,2,3\}$. Así, $P\{X\ge 1\}=P\{X=1\}+P\{X=2\}+P\{X=3\}$   (1) y como la función de probabilidad ( o de cuantía ) para este modelo de distribución viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\,p^x\,q^{n-x}$$ la probabilidad pedida (1) es
$P\{X\ge 1\}=\displaystyle \binom{3}{1}\,p^1\,q^{3-1}+\binom{3}{2}\,p^2\,q^{3-2}+\binom{3}{3}\,p^3\,q^{3-3}$
$=\displaystyle \binom{3}{1}\,(2/5)^1\,(3/5)^{3-1}+\binom{3}{2}\,(2/5)^2\,(3/5)^{3-2}+\binom{3}{3}\,(2/5)^3\,(3/5)^{3-3}$
$=\dfrac{98}{125}= 78{,}4\,\% $

b)
P("ninguna sea negra")=P("las tres bolas sean blancas")=$=P\{X=3\}=\displaystyle \binom{3}{3}\,(2/5)^3\,(3/5)^{3-3}=\dfrac{8}{125} \approx 6{,}4\,\%$
$\square$

Aproximación de una variable binomial por una v. normal

ENUNCIADO. Se considera una moneda tal que la probabilidad de que salga cara al ser lanzada sea $\dfrac{3}{4}$. Imaginemos que se realizan $500$ lanzamientos de la moneda. Se pide:
a) ¿ Cuál es el valor de la esperanza matemática del número de caras obtenido ? ¿ Y el de la desviación estándar correspondiente ?
b) Calcular la probabilidad de que el número de caras que se hayan obtenido sea mayor que $359$ y menor que $391$

SOLUCIÓN.
La variable aleatoria natural de la situación que se describe en el problema es $X:B(n\,,\,p)$, siendo el número de realizaciones $n=500$ y la probabilidad de éxito ( que aparezca cara al lanzar la moneda una vez ) $p=3/4$, por lo que la probabilidad de fracaso ( que aparezca cruz ) es $q=1-p=1/4$

a)
La esperanza matemática ( o valor esperado ) en este modelo ( binomial ) de distribución discreta es $E[X]=n\,p=500 \cdot \dfrac{3}{4}=375$ caras, y la varianza es $V[X]=n\,p\,q=500\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{4} = 93{,}75$, luego la desviación estándar del número esperado de caras es $DE[X]=\sqrt{V[X]}=\sqrt{93{,}75} \approx 9{,}68$ caras.

b)
Para calcular la probabilidad pedida, $P\{360 \le X \le 390\}$, podemos aproximar $X$ por una variable $Y:N(n\,p\,,\,\sqrt{n\,p\,q})$, esto es, por $Y:N(375\,,\,9{,}68)$ ya que se cumplen las condiciones suficientes para ello: $n\,p=375 \succ 5 $ y $n\,q=500\cdot \dfrac{1}{4}=125 \succ 5$.

Así,
$P\{360 \le X \le 390\} \approx P\{360-0{,}5 \le Y \le 390+0{,}5\}$, haciendo también la corrección de continuidad ( o de Yates )
tipificando la variable $X$, $Z=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}$ ( que es una $N(0,1) $, donde $\mu=375$ y $\sigma = 9{,}68$, con lo cual la probabilidad que buscamos es
$P\{\dfrac{359{,}5-375}{9{,}68} \le Z \le \dfrac{390{,}5-375}{9{,}68}\}$
esto es ( aproximando las abscisas a dos dígitos decimales ):
$P\{-1{,}60 \le Z \le 1{,}60\}=$
$=P\{Z \le 1{,}60\}-P\{Z \le -1{,}60\}$
$=P\{Z \le 1{,}60\}-P\{Z \ge 1{,}60\}$, por la simetría de la función de densidad $f(z)$
$=P\{Z \le 1{,}60\}-( 1-P\{Z \le 1{,}60\})$, por la propiedad del contrario
$=2\,P\{Z \le 1{,}60\}-1$
$=2\,F(1{,}60)-1$
$=2 \cdot 0{,}9452-1$ ( consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ )
$=0{,}8904$

$\square$

Un ejercicio de cálculo de probabilidades relacionado con la distribución hipergeométrica.

ENUNCIADO. En una caja hay $5$ bolas rojas y $8$ bolas blancas. Se eligen tres bolas a la vez. Se pide:
a) La probabilidad de que exactamente dos de las tres bolas sean rojas \par
b) La probabilidad de que al menos dos de las tres bolas sean rojas. \par
c) La probabilidad de que ninguna sea roja

SOLUCIÓN.

La variable natural, $X$ ( número de bolas rojas que aparecen en el grupo de tres bolas extraídas ), que se ajusta a la situación descrita en el problema es de tipo hipergeométrico, tomando valores en el conjunto $\{0,1,2,3\}$. Así, la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{x}\cdot \binom{8}{3-x}}{\binom{13}{3}}$$ por consiguiente:

a)
$$P\{X=2\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{2}\cdot \binom{8}{3-2}}{\binom{13}{3}}=\dfrac{40}{143}\approx 28\,\%$$

b)
$$P\{2 \le X \le 3\}=P\{X=2\}+P\{X=3\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{2}\cdot \binom{8}{3-2}}{\binom{13}{3}}+\dfrac{\binom{5}{3}\cdot \binom{8}{3-3}}{\binom{13}{3}}=\dfrac{45}{143}\approx 31\,\%$$

c)
$$P\{X=0\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{0}\cdot \binom{8}{3-0}}{\binom{13}{3}}=\dfrac{28}{143} \approx 20\,\%$$

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Utilizando el autobús ...

ENUNCIADO. Una empresa de transportes realiza un estudio sobre el número de veces que semanalmente utilizan el autobús los usuarios. Se sabe que los datos se distribuyen en una normal $N(8,2)$. Calcular la probabilidad de que un usuario elegido al azar utilice el autobús:
a) más de $10$ veces
b) menos de $5$ veces

SOLUCIÓN.
a)
$P\{X \succ 10\}=P\{Z \succ \dfrac{10-8}{2}\}$, habiendo tipificado la variable $X \rightarrow Z$ de la forma $Z=\dfrac{X-8}{2}$, donde $Z$ una distribución $N(0,1)$
$=P\{Z \succ 1 \}$
$=1-P\{Z \le 1 \}$ ( por la propiedad del contrario )
$=1-F(1)$ siendo $F(z)$ la función de distribución de probabilidad, cuyos valores aparecen en las tablas de la variable $Z$
$=1-0{,}8413$
$=0{,}1587$

b)
$P\{X \prec 5\}=P\{Z \prec \dfrac{5-8}{2}\}$, habiendo tipificado la variable $X \rightarrow Z$ de la forma $Z=\dfrac{X-8}{2}$, donde $Z$ una distribución $N(0,1)$
$=P\{Z \prec -1{,}5 \}$
$=P\{Z \succ 1{,}5 \}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ con respecto del eje de ordenadas )
$=1-P\{Z \le 1{,}5 \}$ ( por la propiedad del contrario )
$=1-F(1{,}5)$
$=1-0{,}9332$
$=0{,}0688$

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Aplicando el modelo binomial y el modelo hipergeométrico para resolver problemas de extracciones sucesivas de urnas ( con y sin reemplazamiento )

ENUNCIADO. En una urna hay $N:=13$ bolas, de las cuales $n_b:=8$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n:=4$ extracciones sucesivas ( de bola ). Mediante el uso del modelo de variable aleatoria adecuado [leer este artículo], calcular la probabilidad de que aparezcan exactamente $x:=3$ bolas blancas, en las siguientes condiciones:
a) las extracciones se realizan con reemplazamiento
b) las extracciones se realizan sin reemplazamiento

SOLUCIÓN.
a)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución binomial, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad binomial para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \binom{4}{3}\,(\dfrac{8}{13})^{3}\cdot (1-\dfrac{8}{13})^{4-3}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$

OBSERVACIÓN: También podemos resolver el problema sin emplear la función de probabilidad del modelo binomial: aplicando los métodos combinatorios. En estas condiciones del experimento y por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x:=3$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{4}^{3,4-1}\cdot \text{VR}_{8,3}\cdot \text{VR}_{5,1}}{\text{VR}_{13,4}}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$


b)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución hipergeométrica, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad hipergeométrica para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \dfrac{\binom{8}{3}\cdot \binom{13-8}{4-3}}{\binom{13}{4}}=0{,}3916 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$

OBSERVACIÓN: Recordemos que la función de probabilidad hipergeométrica se deduce aplicando los métodos combinatorios adecuados a este caso.

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Extracciones sucesivas de bolas de una urna

ENUNCIADO. En una urna hay $N$ bolas, de las cuales $n_b\le N$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n$ extracciones sucesivas ( de bola ), ¿ cuál es la probabilidad de que aparezcan exactamente $x \le n$ bolas blancas ?

OBSERVACIÓN. Debemos distinguir dos maneras de realizar el experimento: a) con reemplazamiento de las bolas en la urna; y, b) sin reemplazamiento de las bolas en la urna

NOTA. Podemos dar respuesta a ambas preguntas siguiendo lo que llamaremos procedimiento rudimentario: Dibujamos un diagrama de árbol binario ( cada bola extraída puede ser blanca o no-blanca ) con $n$ niveles, escribiendo los $2^n$ sucesos de la experiencia aleatoria y distribuyendo la unidad de probabilidad ( de izquierda a derecha del diagrama ) [ se anota dicha probabilidad en el centro de cada arista, por aplicación directa de la regla de Laplace, eso sí, contemplando la parte del camino ( del árbol ) recorrida ] para, luego, calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos que involucran exactamente a $x$ bolas blancas; y, finalmente, sumaremos los términos pertinentes. Así es como se suele hacer en los cursos de ESO. Ahora bien, este procedimiento es inviable si el número de bolas extraídas ( número de extracciones sucesivas ) $n$ no es un número pequeño ( pongamos que mayor que $4$ ) ya que la densidad del diagrama llega a ser excesiva. Evidentemente, las probabilidades de las aristas son distintas en una u otra condición de realización de la experiencia, por lo que los resultados son, claro está, distintos.

Podemos resolver el problema empleando dos procedimientos más, el primero se basa en la aplicación de los métodos combinatorios y aplicar la regla de Laplace ( con sucesos elementales equiprobables ); el segundo, que en realidad se desprende el primero, consiste en emplear el modelo de variable aleatoria ( de distribución de probabilidad ) que se ajuste a las condiciones en que se realiza la experiencia aleatoria.

SOLUCIÓN.

a) [Se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Asumiendo que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{n}^{x,n-x}\cdot \text{VR}_{n_b,x}\cdot \text{VR}_{N-n_b,n-x}}{\text{VR}_{N,n}}$$

Procedimiento II ( distribución binomial ). Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, por tanto, la función de probabilidad ( o de cuantía ) vendrá dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ donde
$x \in \{0,1,\ldots,m\}$
y
$p=\dfrac{N}{n_b}$ ( probabilidad de éxito, esto es, de sacar bola blanca en una extracción ); siendo, por tanto, la probabilidad de fracaso ( extraer bola no-blanca en una extracción ) $q:=1-p$

Aplicando las definiciones de esperanza matemática de la variable $X$, $E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,x_i\cdot p_i$; de varianza, $V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,(x_i - E[X])^2\cdot p_i$, y de desviación estándar, $DE[X]=\sqrt{V[X]}$, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p$$
$$V[X]=n\, p\,q$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p \, q}$$


b) [No se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Hemos establecido que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), luego ( recordemos que ) el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios. Así, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{C}_{n_b,x}\cdot \text{C}_{N-n_b,n-x}}{\text{C}_{N,n}}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$

Procedimiento II ( distribución hipergeométrica ). La fórmula anterior da pie a que, variando el valor de $x$, nos expresemos en términos de variable aleatoria: Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución hipergeométrica, por tanto la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$.

Aplicando las definiciones de esperanza matemática, varianza, y desviación estándar de la variable $X $, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p\,, \quad \text{donde}\quad p:=\dfrac{n_b}{N}$$
$$V[X]=n\, p\,q \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p\,q \cdot (\dfrac{N-n}{N-1})}$$

Distribuciones de probabilidad. Propiedades de la varianza.

P1. $V(X)\ge 0$

P2. $V(X+b)=V(X)$, siendo $b \in \mathbb{R}$

P3. $V(a\,X+b)=a^2\cdot V(X)$, siendo $a \in \mathbb{R}$

P4. $V(b)=0$, siendo $b \in \mathbb{R}$ ( es consecuencia de P3. )

P5. Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias independientes, $V(X + Y)= V(X)+V(Y)$

Disparando cohetes de señales

ENUNCIADO. En una caja hay $10$ cohetes de señales, entre los cuales hay $5$ que son inservibles. Se eligen al azar $4$ de los cohetes de la caja. ¿ Cuál es la probabilidad de que los $4$ cohetes elegidos se puedan lanzar ? ¿ Y de que alguno de los cuatro cohetes se pueda lanzar ? ¿ Cuántos cohetes de los cuatro elegidos se espera que se puedan lanzar ?.

SOLUCIÓN. Sea $X$ la variable aleatoria "número de cohetes inservibles" ( cohetes que no pueden dispararse ) y que, por lo dicho en el enunciado, sigue una distribución hipergeométrica cuya función de cuantía ( de probabilidad ) es $$P\{X=k\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{k} \cdot \binom{10-5}{4-k}}{\binom{10}{4}}$$ donde $k \in \{0,1,2,3,4\}$. Entonces la probabilidad de que todos los cohetes se puedan lanzar es $$P\{X=0\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{0} \cdot \binom{10-5}{4-0}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{5}{210}\approx 2\,\%$$

La probabilidad de que ninguno se pueda lanzar es igual a $$P\{X=4\}=\displaystyle \dfrac{\binom{5}{4} \cdot \binom{10-5}{4-4}}{\binom{10}{4}}=\dfrac{5}{210}\approx 2\,\%$$ luego la probabilidad de que alguno de los cuatro ( al menos uno ) se pueda lanzar es igual a $$1-\dfrac{5}{210}=\dfrac{41}{42} \approx 98\,\%$$

La esperanza matemática ( número de cohetes que se espera que no funcionen ) es $$E[X]=4 \cdot \dfrac{5}{10}=2$$
$\square$

En un examen, la puntuación media ha sido de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En un examen, la puntuació mitjana ha estat de 4,5 punts, i la desviació estàndard d'1,5. Suposant que les puntuacions es distribueixen normalment, quin percentatge d'alumnes han obtingut més d'un $5$ ?

Resolució:
Designem amb $X$ la variable ateatòria "puntuació", els valors de la qual pertanyen a l'interval
$\left[ 0, 10 \right] \in \mathbb{R}$
D'acord amb l'enunciat,
$X \sim N(4,5 \; , \; 1,5)$
Llavors,
$P(X > 5) = 1-P(X \le 5) \quad \quad (1)$
I, per calcular $P(X\le 5)$, farem el canvi de variable
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
amb la qual cosa
$P(X\le 5)=P(Z \le k)$
on
$k=\dfrac{5-4,5}{1,5}=\dfrac{1}{3}$
Tenint en compte que
$P(Z \le \frac{1}{3})=F(\frac{1}{3}) \approx 0,333$
    - on $F(z)$ és la funció de distribució de probabilitat de $Z$ -
farem, ara, ús de les taules de $Z$ que és una $N(0,1)$
i trobem que
$F(0,33) = 0,6293$
i
$F(0,34) = 0,6331$
Interpolant linealment,
$\dfrac{F(0,34)-F(\frac{1}{3})}{0,34-0,333}=\dfrac{F(0,34)-F(0,33)}{0,34-0,33}$
d'on
$F(0,333)\approx 0,6304$
Per tant
$P(X \le 5) \approx 0,6304$
i (1) queda
$P(X>5) \approx 0,3696$
de la qual cosa interpretem (estadísticament) que el tant per cent demanat és, aproximadament, del $37 \,\%$
$\square$

[nota del autor]