Cálculos con la distribución normal

ENUNCIADO. Sea X es una variable aleatoria de una distribución $N(µ, σ)$, calcular $P\{\mu−3\sigma \le X \le \mu+3\,\sigma\}$

SOLUCIÓN.
$P\{\mu−3\sigma \le X \le \mu+3\,\sigma\}=$
$=P\{X \le \mu+3\,\sigma\}-P\{X \le \mu-3\,\sigma\}$
$=P\{Z \le \dfrac{(\mu+3\,\sigma)-\sigma}{\sigma}\}-P\{Z \le \dfrac{(\mu-3\,\sigma)-\sigma}{\sigma}\}$ ( tipificando ( transformado ) la variable $X \rightarrow Z$: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$, correspondiendo a ésta una distribución $N(0,1)$ )
$=P\{Z \le 3\}-P\{Z \le -3\}$
$=P\{Z \le 3\}-P\{Z \ge 3\}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ con respecto al eje de ordenadas )
$=P\{Z \le 3\}-(1-P\{Z \le 3\})$ ( por la propiedad del contrario )
$=2\,P\{Z \le 3\}-1$
$=2\,F(3)-1$, donde $F(z)$ es la función de distribución de probabilidad, $N(0,1)$
$=2 \cdot 0{,}9987-1$ ( consultando las tablas de la distribución de probabilidad $N(0,1)$ )
$=0{,}9974$
$\square$

Utilizando el autobús ...

ENUNCIADO. Una empresa de transportes realiza un estudio sobre el número de veces que semanalmente utilizan el autobús los usuarios. Se sabe que los datos se distribuyen en una normal $N(8,2)$. Calcular la probabilidad de que un usuario elegido al azar utilice el autobús:
a) más de $10$ veces
b) menos de $5$ veces

SOLUCIÓN.
a)
$P\{X \succ 10\}=P\{Z \succ \dfrac{10-8}{2}\}$, habiendo tipificado la variable $X \rightarrow Z$ de la forma $Z=\dfrac{X-8}{2}$, donde $Z$ una distribución $N(0,1)$
$=P\{Z \succ 1 \}$
$=1-P\{Z \le 1 \}$ ( por la propiedad del contrario )
$=1-F(1)$ siendo $F(z)$ la función de distribución de probabilidad, cuyos valores aparecen en las tablas de la variable $Z$
$=1-0{,}8413$
$=0{,}1587$

b)
$P\{X \prec 5\}=P\{Z \prec \dfrac{5-8}{2}\}$, habiendo tipificado la variable $X \rightarrow Z$ de la forma $Z=\dfrac{X-8}{2}$, donde $Z$ una distribución $N(0,1)$
$=P\{Z \prec -1{,}5 \}$
$=P\{Z \succ 1{,}5 \}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ con respecto del eje de ordenadas )
$=1-P\{Z \le 1{,}5 \}$ ( por la propiedad del contrario )
$=1-F(1{,}5)$
$=1-0{,}9332$
$=0{,}0688$

$\square$