ENUNCIAR. Demostrar que la varianza de una variable aleatoria $X$ binomial $B(n,p)$ es igual a $n\cdot p \cdot q$
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que una variable binomial $X:B(n,p)$ es la suma de $n$ variables independientes de Bernoulli $X_j:B(1,p)$ ( donde $j=1\,2,\ldots,n$ ), y que la varianza de la distribución de Bernoulli es $V[X_i]=(1-p)^2\,p+(0-p)^2\,(1-p)=p\,(1-p)=p\cdot q$, aplicando la propiedad de la esperanza matemática $V[X_1+\ldots+X_n] = V[X_1]+\ldots+V[X_n]$ ( que es válida si las variables $X_1$,$\ldots$,$X_n$ son independientes ), en el caso que nos ocupa obtenemos, $p\cdot q+\ldots+p\cdot q=n\,p\,q$, con lo cual $V[X]=n\cdot p\cdot q$
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lunes, 6 de junio de 2016
domingo, 5 de junio de 2016
Esperanza matemática de la distribución binomial B(n,p)
ENUNCIAR. Demostrar que la esperanza matemática de una variable aleatoria $X$ binomial $B(n,p)$ es igual a $n\cdot p$
SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
Aplicando la definición de esperanza matemática de una variable discreta $$E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i\in X(\Omega)}\,i\cdot p_i$$ donde $i$ toma valores en el conjunto $$X(\Omega)=\{0,1,2,\ldots,n\}$$ Luego, en el caso de la distribución binomial, la definición nos lleva a $$E[X]=\sum_{i=0}^{n}\,i\cdot \binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y como el primer sumando es $0$ ( por el factor $i=0$ ) podemos escribir lo anterior como $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,i\cdot \binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ Teniendo en cuenta, ahora, que $$i\cdot \displaystyle \binom{n}{i} = \dfrac{i\cdot n!}{(n-1)!\,i!}=\dfrac{n!}{(n-1)!\,(n-i)!}=\dfrac{n\,(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}$$ la suma puede expresarse de la forma $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{n\,(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y como $n\cdot p$ es un factor común a todos los sumandos, podemos sacar factor común de dicho factor, quedando $$\displaystyle n\,p\, \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y teniendo en cuenta que $$\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}=\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,((n-1)-(i-1))!} = \displaystyle \binom{n-1}{i-1}$$ podemos escribir la suma así $$\displaystyle n\cdot p\, \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n-1}{i-1}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ Ahora bien, por el desarrollo del binomio de Newton $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n-1}{i-1}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}=(p+q)^{n-1}=1$, ya que $p+q=p+(1-p)=1$. Por consiguiente, queda probado así que la esperanza matemática de $X$ es igual a $$E[X]=n \cdot p \cdot 1^{n-1} = n \cdot p \cdot 1 = n \cdot p$$
Procedimiento II:
Teniendo en cuenta que una variable binomial $X:B(n,p)$ es la suma de $n$ variables independientes de Bernoulli $X_j:B(1,p)$ ( donde $j=1\,2,\ldots,n$ ), y que la esperanza matemática de una distribución de Bernoulli es $E[X_i]=p$, aplicando la propiedad de la esperanza matemática $E[X_1+\ldots+X_n] = E[X_1]+\ldots+E[X_n]$ ( que es válida si las variables $X_1$,$\ldots$,$X_n$ son independientes ), en el caso que nos ocupa obtenemos, $p+\ldots+p=n\,p$, llegando a justificar así la afirmación del enunciado, $E[X]=n\cdot p$, sin tanto cálculo como en el procedimiento I.
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SOLUCIÓN.
Procedimiento I:
Aplicando la definición de esperanza matemática de una variable discreta $$E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i\in X(\Omega)}\,i\cdot p_i$$ donde $i$ toma valores en el conjunto $$X(\Omega)=\{0,1,2,\ldots,n\}$$ Luego, en el caso de la distribución binomial, la definición nos lleva a $$E[X]=\sum_{i=0}^{n}\,i\cdot \binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y como el primer sumando es $0$ ( por el factor $i=0$ ) podemos escribir lo anterior como $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,i\cdot \binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ Teniendo en cuenta, ahora, que $$i\cdot \displaystyle \binom{n}{i} = \dfrac{i\cdot n!}{(n-1)!\,i!}=\dfrac{n!}{(n-1)!\,(n-i)!}=\dfrac{n\,(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}$$ la suma puede expresarse de la forma $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{n\,(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y como $n\cdot p$ es un factor común a todos los sumandos, podemos sacar factor común de dicho factor, quedando $$\displaystyle n\,p\, \sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ y teniendo en cuenta que $$\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,(n-i)!}=\dfrac{(n-1)!}{(i-n)!\,((n-1)-(i-1))!} = \displaystyle \binom{n-1}{i-1}$$ podemos escribir la suma así $$\displaystyle n\cdot p\, \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n-1}{i-1}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}$$ Ahora bien, por el desarrollo del binomio de Newton $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n-1}{i-1}\cdot p^{i}\cdot q^{n-i}=(p+q)^{n-1}=1$, ya que $p+q=p+(1-p)=1$. Por consiguiente, queda probado así que la esperanza matemática de $X$ es igual a $$E[X]=n \cdot p \cdot 1^{n-1} = n \cdot p \cdot 1 = n \cdot p$$
Procedimiento II:
Teniendo en cuenta que una variable binomial $X:B(n,p)$ es la suma de $n$ variables independientes de Bernoulli $X_j:B(1,p)$ ( donde $j=1\,2,\ldots,n$ ), y que la esperanza matemática de una distribución de Bernoulli es $E[X_i]=p$, aplicando la propiedad de la esperanza matemática $E[X_1+\ldots+X_n] = E[X_1]+\ldots+E[X_n]$ ( que es válida si las variables $X_1$,$\ldots$,$X_n$ son independientes ), en el caso que nos ocupa obtenemos, $p+\ldots+p=n\,p$, llegando a justificar así la afirmación del enunciado, $E[X]=n\cdot p$, sin tanto cálculo como en el procedimiento I.
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viernes, 3 de junio de 2016
Dando en el blanco ...
ENUNCIADO. La probabilidad de que un tirador dé en el blanco en un disparo es $0{,}6$. Si efectúa tres disparos, calcular:
a) la probabilidad de acertar al menos dos veces
b) el número de disparos que debería efectuar para que la probabilidad de acertar al menos una vez fuese mayor que $0{,}8$
SOLUCIÓN.
a)
La variable aleatoria $X$ ( "número de aciertos" ) toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3\}$, entonces:
$P\{X \ge 2\}=P\{X=2\}+P\{X=3\}=\displaystyle \binom{3}{2}\cdot 0{,}6^2\cdot (1-0{,}6)^{3-2}=0{,}432$
b)
Si $P\{X \ge 1\} \succ 0{,}8$, entonces $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{n-i} \succ 0{,}8$. Procedemos, ahora, a ensayar valores crecientes de $n$ para ver si se cumple o no lo que se requiere en esta segunda pregunta. Es claro que con un disparo ( $n:=1$ ) la probabilidad de acertar es $0{,}6$ que es menor que $0{,}8$, por lo que el tirador debe realizar más de un disparo; probemos con $n:=2$ disparos, en este caso $P\{X \ge 1\}$ es igual a $\displaystyle \sum_{i=1}^{2}\,\displaystyle \binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{2-i}=0{,}84 \succ 0{,}8$, luego con dos disparos basta para que la probabilidad de acertar al menos una vez sea mayor que $0{,}8$
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a) la probabilidad de acertar al menos dos veces
b) el número de disparos que debería efectuar para que la probabilidad de acertar al menos una vez fuese mayor que $0{,}8$
SOLUCIÓN.
a)
La variable aleatoria $X$ ( "número de aciertos" ) toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3\}$, entonces:
$P\{X \ge 2\}=P\{X=2\}+P\{X=3\}=\displaystyle \binom{3}{2}\cdot 0{,}6^2\cdot (1-0{,}6)^{3-2}=0{,}432$
b)
Si $P\{X \ge 1\} \succ 0{,}8$, entonces $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{n-i} \succ 0{,}8$. Procedemos, ahora, a ensayar valores crecientes de $n$ para ver si se cumple o no lo que se requiere en esta segunda pregunta. Es claro que con un disparo ( $n:=1$ ) la probabilidad de acertar es $0{,}6$ que es menor que $0{,}8$, por lo que el tirador debe realizar más de un disparo; probemos con $n:=2$ disparos, en este caso $P\{X \ge 1\}$ es igual a $\displaystyle \sum_{i=1}^{2}\,\displaystyle \binom{n}{i}\cdot 0{,}6^i\cdot (1-0{,}6)^{2-i}=0{,}84 \succ 0{,}8$, luego con dos disparos basta para que la probabilidad de acertar al menos una vez sea mayor que $0{,}8$
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Un ejercicio sobre una distribución binomial
ENUNCIADO. Sea $X$ una variable aleatoria binomial $B(n,p)$. La esperanza matemática de dicha variable es $5$, y la varianza es $\dfrac{10}{3}$. Se pide:
a) Los valores de $n$ y de $p$
b) Calcular la probabilidad de obtener exactamente cuatro éxitos.
SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que la esperanza matemática para una distribución binomial se calcula mediante la fórmula $E[X]=np$, y la varianza con $V[X]=npq$, donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q=1-p$ la de fracaso. Entonces, de la información del enunciado, podemos escribir: $$\left\{\begin{matrix}np&=&5\\ npq&=&\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.$$ Dividiendo, miembro a miembro, la segunda ecuación entre la primera, $$\dfrac{npq}{np}=\dfrac{10/3}{5}$$ simplificando, encontramos que la probabilidad de fracaso es $$q=\dfrac{2}{3}$$ luego la probabilidad de éxito es $$p=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$$ Sustituyendo este resultado en la primera ecuación podemos calcular el valor de $n$, así, de $$\dfrac{1}{3}\cdot n=5$$ obtenemos $$n=15$$
b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida:
$$P\{X=4\}= \displaystyle \binom{15}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{4} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{15-4}\approx 0{,}1948$$
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a) Los valores de $n$ y de $p$
b) Calcular la probabilidad de obtener exactamente cuatro éxitos.
SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que la esperanza matemática para una distribución binomial se calcula mediante la fórmula $E[X]=np$, y la varianza con $V[X]=npq$, donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q=1-p$ la de fracaso. Entonces, de la información del enunciado, podemos escribir: $$\left\{\begin{matrix}np&=&5\\ npq&=&\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.$$ Dividiendo, miembro a miembro, la segunda ecuación entre la primera, $$\dfrac{npq}{np}=\dfrac{10/3}{5}$$ simplificando, encontramos que la probabilidad de fracaso es $$q=\dfrac{2}{3}$$ luego la probabilidad de éxito es $$p=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$$ Sustituyendo este resultado en la primera ecuación podemos calcular el valor de $n$, así, de $$\dfrac{1}{3}\cdot n=5$$ obtenemos $$n=15$$
b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida:
$$P\{X=4\}= \displaystyle \binom{15}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{4} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{15-4}\approx 0{,}1948$$
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miércoles, 1 de junio de 2016
Aplicando el modelo binomial y el modelo hipergeométrico para resolver problemas de extracciones sucesivas de urnas ( con y sin reemplazamiento )
ENUNCIADO. En una urna hay $N:=13$ bolas, de las cuales $n_b:=8$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n:=4$ extracciones sucesivas ( de bola ). Mediante el uso del modelo de variable aleatoria adecuado [leer este artículo], calcular la probabilidad de que aparezcan exactamente $x:=3$ bolas blancas, en las siguientes condiciones:
a) las extracciones se realizan con reemplazamiento
b) las extracciones se realizan sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
a)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución binomial, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad binomial para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \binom{4}{3}\,(\dfrac{8}{13})^{3}\cdot (1-\dfrac{8}{13})^{4-3}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: También podemos resolver el problema sin emplear la función de probabilidad del modelo binomial: aplicando los métodos combinatorios. En estas condiciones del experimento y por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x:=3$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{4}^{3,4-1}\cdot \text{VR}_{8,3}\cdot \text{VR}_{5,1}}{\text{VR}_{13,4}}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
b)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución hipergeométrica, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad hipergeométrica para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \dfrac{\binom{8}{3}\cdot \binom{13-8}{4-3}}{\binom{13}{4}}=0{,}3916 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: Recordemos que la función de probabilidad hipergeométrica se deduce aplicando los métodos combinatorios adecuados a este caso.
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a) las extracciones se realizan con reemplazamiento
b) las extracciones se realizan sin reemplazamiento
SOLUCIÓN.
a)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución binomial, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad binomial para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \binom{4}{3}\,(\dfrac{8}{13})^{3}\cdot (1-\dfrac{8}{13})^{4-3}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: También podemos resolver el problema sin emplear la función de probabilidad del modelo binomial: aplicando los métodos combinatorios. En estas condiciones del experimento y por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x:=3$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{4}^{3,4-1}\cdot \text{VR}_{8,3}\cdot \text{VR}_{5,1}}{\text{VR}_{13,4}}=0{,}3585 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
b)
El modelo de variable aleatoria que se ajusta a este experimento es el de la distribución hipergeométrica, representando la variable $X$ el número de bolas blancas que se pueden dar: $\{0,1,2,3,4\}$, luego el valor de la función de probabilidad hipergeométrica para $X=3$ es $$P\{X=3\}=\displaystyle \dfrac{\binom{8}{3}\cdot \binom{13-8}{4-3}}{\binom{13}{4}}=0{,}3916 \quad ( \text{con cuatro dígitos significativos} )$$
OBSERVACIÓN: Recordemos que la función de probabilidad hipergeométrica se deduce aplicando los métodos combinatorios adecuados a este caso.
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Extracciones sucesivas de bolas de una urna
ENUNCIADO. En una urna hay $N$ bolas, de las cuales $n_b\le N$ son blancas y el resto de colores distintos al blanco. Realizamos $n$ extracciones sucesivas ( de bola ), ¿ cuál es la probabilidad de que aparezcan exactamente $x \le n$ bolas blancas ?
OBSERVACIÓN. Debemos distinguir dos maneras de realizar el experimento: a) con reemplazamiento de las bolas en la urna; y, b) sin reemplazamiento de las bolas en la urna
NOTA. Podemos dar respuesta a ambas preguntas siguiendo lo que llamaremos procedimiento rudimentario: Dibujamos un diagrama de árbol binario ( cada bola extraída puede ser blanca o no-blanca ) con $n$ niveles, escribiendo los $2^n$ sucesos de la experiencia aleatoria y distribuyendo la unidad de probabilidad ( de izquierda a derecha del diagrama ) [ se anota dicha probabilidad en el centro de cada arista, por aplicación directa de la regla de Laplace, eso sí, contemplando la parte del camino ( del árbol ) recorrida ] para, luego, calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos que involucran exactamente a $x$ bolas blancas; y, finalmente, sumaremos los términos pertinentes. Así es como se suele hacer en los cursos de ESO. Ahora bien, este procedimiento es inviable si el número de bolas extraídas ( número de extracciones sucesivas ) $n$ no es un número pequeño ( pongamos que mayor que $4$ ) ya que la densidad del diagrama llega a ser excesiva. Evidentemente, las probabilidades de las aristas son distintas en una u otra condición de realización de la experiencia, por lo que los resultados son, claro está, distintos.
Podemos resolver el problema empleando dos procedimientos más, el primero se basa en la aplicación de los métodos combinatorios y aplicar la regla de Laplace ( con sucesos elementales equiprobables ); el segundo, que en realidad se desprende el primero, consiste en emplear el modelo de variable aleatoria ( de distribución de probabilidad ) que se ajuste a las condiciones en que se realiza la experiencia aleatoria.
SOLUCIÓN.
a) [Se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Asumiendo que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{n}^{x,n-x}\cdot \text{VR}_{n_b,x}\cdot \text{VR}_{N-n_b,n-x}}{\text{VR}_{N,n}}$$
Procedimiento II ( distribución binomial ). Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, por tanto, la función de probabilidad ( o de cuantía ) vendrá dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ donde
$x \in \{0,1,\ldots,m\}$
y
$p=\dfrac{N}{n_b}$ ( probabilidad de éxito, esto es, de sacar bola blanca en una extracción ); siendo, por tanto, la probabilidad de fracaso ( extraer bola no-blanca en una extracción ) $q:=1-p$
Aplicando las definiciones de esperanza matemática de la variable $X$, $E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,x_i\cdot p_i$; de varianza, $V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,(x_i - E[X])^2\cdot p_i$, y de desviación estándar, $DE[X]=\sqrt{V[X]}$, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p$$
$$V[X]=n\, p\,q$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p \, q}$$
b) [No se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Hemos establecido que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), luego ( recordemos que ) el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios. Así, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{C}_{n_b,x}\cdot \text{C}_{N-n_b,n-x}}{\text{C}_{N,n}}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
Procedimiento II ( distribución hipergeométrica ). La fórmula anterior da pie a que, variando el valor de $x$, nos expresemos en términos de variable aleatoria: Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución hipergeométrica, por tanto la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$.
Aplicando las definiciones de esperanza matemática, varianza, y desviación estándar de la variable $X $, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p\,, \quad \text{donde}\quad p:=\dfrac{n_b}{N}$$
$$V[X]=n\, p\,q \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p\,q \cdot (\dfrac{N-n}{N-1})}$$
OBSERVACIÓN. Debemos distinguir dos maneras de realizar el experimento: a) con reemplazamiento de las bolas en la urna; y, b) sin reemplazamiento de las bolas en la urna
NOTA. Podemos dar respuesta a ambas preguntas siguiendo lo que llamaremos procedimiento rudimentario: Dibujamos un diagrama de árbol binario ( cada bola extraída puede ser blanca o no-blanca ) con $n$ niveles, escribiendo los $2^n$ sucesos de la experiencia aleatoria y distribuyendo la unidad de probabilidad ( de izquierda a derecha del diagrama ) [ se anota dicha probabilidad en el centro de cada arista, por aplicación directa de la regla de Laplace, eso sí, contemplando la parte del camino ( del árbol ) recorrida ] para, luego, calcular las probabilidades de cada uno de los sucesos que involucran exactamente a $x$ bolas blancas; y, finalmente, sumaremos los términos pertinentes. Así es como se suele hacer en los cursos de ESO. Ahora bien, este procedimiento es inviable si el número de bolas extraídas ( número de extracciones sucesivas ) $n$ no es un número pequeño ( pongamos que mayor que $4$ ) ya que la densidad del diagrama llega a ser excesiva. Evidentemente, las probabilidades de las aristas son distintas en una u otra condición de realización de la experiencia, por lo que los resultados son, claro está, distintos.
Podemos resolver el problema empleando dos procedimientos más, el primero se basa en la aplicación de los métodos combinatorios y aplicar la regla de Laplace ( con sucesos elementales equiprobables ); el segundo, que en realidad se desprende el primero, consiste en emplear el modelo de variable aleatoria ( de distribución de probabilidad ) que se ajuste a las condiciones en que se realiza la experiencia aleatoria.
SOLUCIÓN.
a) [Se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Asumiendo que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{PR}_{n}^{x,n-x}\cdot \text{VR}_{n_b,x}\cdot \text{VR}_{N-n_b,n-x}}{\text{VR}_{N,n}}$$
Procedimiento II ( distribución binomial ). Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, por tanto, la función de probabilidad ( o de cuantía ) vendrá dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \binom{n}{x}\cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$ donde
$x \in \{0,1,\ldots,m\}$
y
$p=\dfrac{N}{n_b}$ ( probabilidad de éxito, esto es, de sacar bola blanca en una extracción ); siendo, por tanto, la probabilidad de fracaso ( extraer bola no-blanca en una extracción ) $q:=1-p$
Aplicando las definiciones de esperanza matemática de la variable $X$, $E[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,x_i\cdot p_i$; de varianza, $V[X]\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,(x_i - E[X])^2\cdot p_i$, y de desviación estándar, $DE[X]=\sqrt{V[X]}$, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p$$
$$V[X]=n\, p\,q$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p \, q}$$
b) [No se reemplazan en la urna las bolas que se van sacando ]
Procedimiento I. Hemos establecido que las bolas son distinguibles ( sin reparar en el color ), luego ( recordemos que ) el espacio muestral de la experiencia aletoria estará formado por sucesos ( elementales ) equiprobables, con lo cual , podremos aplicar la regla de Laplace. Calcularemos el número total de posibilidades y el número de posibilidades favorables a un determinado suceso, aplicando los métodos combinatorios. Así, aplicando los métodos combinatorios en estas condiciones del experimento. Por la regla de Laplace, la probabilidad del suceso $S$="obtener exactamente $x$ bolas blancas" es $P(S)=\dfrac{N(S)}{N}$ y, por tanto, $$P(S)=\dfrac{\text{C}_{n_b,x}\cdot \text{C}_{N-n_b,n-x}}{\text{C}_{N,n}}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
Procedimiento II ( distribución hipergeométrica ). La fórmula anterior da pie a que, variando el valor de $x$, nos expresemos en términos de variable aleatoria: Sea la variable aleatoria $X$: "número ( exacto ) de bolas blancas que aparecen en el conjunto de $x$ extracciones". Entonces, como las sucesivas extracciones se efectúan con reemplazamiento ( pruebas repetidas independientes ) con dos resultados posibles en cada extracción ( sacar 'bola blanca' o sacar 'bola no-blanca' ), $X$ sigue una distribución hipergeométrica, por tanto la función de probabilidad ( o de cuantía ) viene dada por $$P\{X=x\}=\displaystyle \dfrac{\binom{n_b}{x}\cdot \binom{N-n_b}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$.
Aplicando las definiciones de esperanza matemática, varianza, y desviación estándar de la variable $X $, obtenemos las fórmulas para calcular el valor de los parámetros que caracterizan dicha distribución:
$$E[X]=n\,p\,, \quad \text{donde}\quad p:=\dfrac{n_b}{N}$$
$$V[X]=n\, p\,q \cdot \dfrac{N-n}{N-1}$$
y
$$DE[X]=\sqrt{n\, p\,q \cdot (\dfrac{N-n}{N-1})}$$
viernes, 8 de mayo de 2015
Calcular la probabilidad de que entre los cuatro hijos de ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Calculeu la probabilitat que entre els quatre fills d'una parella hi hagi com a màxim 3 nois.
Resolució:
Anomenem $X$ a la variable aleatòria discreta "nombre de nois entre els quatre fills". Naturalment, els valors de $X$ són $\{0,1,2,3,4\}$, i el model matemàtic amb què es distribueixen aquests valors correspon a una distribució binomial, amb $p=\frac{1}{2}$ (probabilitat que un fill escollit a l'atzar sigui un noi) i $n=4$ (nombre de proves repetides); és a dir, $X \sim B(4,\frac{1}{2})$
La probabilitat demanada la podem expressar de la forma
$P(X \le 3)$
i tenint en compte que
$\displaystyle \sum_{i=0}^{4}\,P(X=i)=1$
és clar que
$P(X \le 3)=1-P(X=4)$
$=1-\big(\frac{1}{2}\big)^4$
$=\dfrac{15}{16}$
$\approx 94,75 \, \%$
$\square$
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