ENUNCIADO. Sea $X$ una variable aleatoria binomial $B(n,p)$. La esperanza matemática de dicha variable es $5$, y la varianza es $\dfrac{10}{3}$. Se pide:
a) Los valores de $n$ y de $p$
b) Calcular la probabilidad de obtener exactamente cuatro éxitos.
SOLUCIÓN.
a)
Recordemos que la esperanza matemática para una distribución binomial se calcula mediante la fórmula $E[X]=np$, y la varianza con $V[X]=npq$, donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q=1-p$ la de fracaso. Entonces, de la información del enunciado, podemos escribir: $$\left\{\begin{matrix}np&=&5\\ npq&=&\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.$$ Dividiendo, miembro a miembro, la segunda ecuación entre la primera, $$\dfrac{npq}{np}=\dfrac{10/3}{5}$$ simplificando, encontramos que la probabilidad de fracaso es $$q=\dfrac{2}{3}$$ luego la probabilidad de éxito es $$p=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$$ Sustituyendo este resultado en la primera ecuación podemos calcular el valor de $n$, así, de $$\dfrac{1}{3}\cdot n=5$$ obtenemos $$n=15$$
b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida:
$$P\{X=4\}= \displaystyle \binom{15}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{4} \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{15-4}\approx 0{,}1948$$
$\square$
