ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo $$P(x)=x^3-2\,x^2-9\,x+18$$
SOLUCIÓN. El coeficiente del término de mayor grado es $1$, con lo cual toda raíz racional ha de ser un número entero divisor del término de grado independiente; ensayemos pues los divisores de $18$, que son $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18\}$. Observemos que $P(2)=0$, luego una raíz de $P(x)$ es $2$. Por el teorema del factor, podemos escribir $P(x)=(x-2)\cdot Q(x)$, siendo, por tanto, $Q(x)=P(x) \div (x-2)$; por comodidad, podemos dividir por el método de Ruffini, obteniendo $Q(x)=x^2-9$. Así, $P(x)=(x-2)\,(x^2-9)$; ahora bien, $x^2-9$ no es un polinomio primo y, lógicamente, las ráices de $x^2-9$ son también raíces de $P(x)$. Veamos cuáles son las raíces de $x^2-9$: $$x^2-9=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, las raíces de $P(x)$ son $-3$, $2$ y $3$, y éste se descompone como producto de factores polinómicos primos de la forma $$P(x)=(x-(-3))(x-2)(x-3)$$ esto es $$P(x)=(x+3)(x-2)(x-3)$$
$\square$
