ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo P(x)=x^3-2\,x^2-9\,x+18
SOLUCIÓN. El coeficiente del término de mayor grado es 1, con lo cual toda raíz racional ha de ser un número entero divisor del término de grado independiente; ensayemos pues los divisores de 18, que son \{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18\}. Observemos que P(2)=0, luego una raíz de P(x) es 2. Por el teorema del factor, podemos escribir P(x)=(x-2)\cdot Q(x), siendo, por tanto, Q(x)=P(x) \div (x-2); por comodidad, podemos dividir por el método de Ruffini, obteniendo Q(x)=x^2-9. Así, P(x)=(x-2)\,(x^2-9); ahora bien, x^2-9 no es un polinomio primo y, lógicamente, las ráices de x^2-9 son también raíces de P(x). Veamos cuáles son las raíces de x^2-9: x^2-9=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ 3\end{matrix}\right. Así, las raíces de P(x) son -3, 2 y 3, y éste se descompone como producto de factores polinómicos primos de la forma P(x)=(x-(-3))(x-2)(x-3) esto es P(x)=(x+3)(x-2)(x-3)
\square