ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo $$P(x)=x^4-2\,x^3-5\,x^2+6\,x$$
SOLUCIÓN. Un primer paso de factorización, en este caso, consiste simplemente en aplicar la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto: $$P(x)=x\,(x^3-2\,x^2-5\,x+6 )$$ luego una de la raíces es $r_1=0$.
A continuación, procedamos a obtener otras posibles raíces, que necesariamente han de ser también raíces del polinomio de tercer grado del segundo miembro. Una de las propiedades que hemos estudiado nos dice que las posibles raíces enteras del polinomio $x^3-2\,x^2-5\,x+6$ tenemos que buscarlas entre los divisores del término independiente ( que es $6$ ), esto es, en el conjunto $\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$.
Ensayando el valor $x=1$, vemos que $\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right)_{x=1}=0$, luego $1$ es otra raíz de $P(x)$: $r_2=1$. Así, tenemos otro paso de factorización ( teorema del factor ), $$P(x)=x\,(x-1)\,Q(x)$$ Conocemos $Q(x)$ haciendo la división $$\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right) \div (x-1)$$ [que, por comodidad, podemos realizar por el método de Ruffini ] obteniendo $$Q(x)=x^2-x-6$$
El polinomio $P(x)$ ( que es de cuarto grado ) puede por tanto tener otras dos raíces más, que serían las de $Q(x)$. Procedemos pues a determinar las raíces de $Q(x)$. Al tratarse de un polinomio de segundo grado, disponemos de fórmula para encontrar, directamente, las raíces del mismo ( si es que las tiene ): la condición para encontrar raíces es $Q(x)=0$, luego $$0=x^2-x-6 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, vemos que $P(x)$ tiene otras dos raíces: $r_3=-2$ y $r_4=3$.
Resumiendo, el conjunto de raíces de $P(x)$ es $\{0,-2,1,3\}$, por lo que el polinomio factoriza de la siguiente forma $$P(x)=x\,(x-(-2))(x-1)(x-3)$$ esto es $$P(x)=x\,(x+2)(x-1)(x-3)$$
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miércoles, 7 de septiembre de 2016
martes, 14 de junio de 2016
Factorización de polinomios
ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo $$P(x)=x^3-2\,x^2-9\,x+18$$
SOLUCIÓN. El coeficiente del término de mayor grado es $1$, con lo cual toda raíz racional ha de ser un número entero divisor del término de grado independiente; ensayemos pues los divisores de $18$, que son $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18\}$. Observemos que $P(2)=0$, luego una raíz de $P(x)$ es $2$. Por el teorema del factor, podemos escribir $P(x)=(x-2)\cdot Q(x)$, siendo, por tanto, $Q(x)=P(x) \div (x-2)$; por comodidad, podemos dividir por el método de Ruffini, obteniendo $Q(x)=x^2-9$. Así, $P(x)=(x-2)\,(x^2-9)$; ahora bien, $x^2-9$ no es un polinomio primo y, lógicamente, las ráices de $x^2-9$ son también raíces de $P(x)$. Veamos cuáles son las raíces de $x^2-9$: $$x^2-9=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, las raíces de $P(x)$ son $-3$, $2$ y $3$, y éste se descompone como producto de factores polinómicos primos de la forma $$P(x)=(x-(-3))(x-2)(x-3)$$ esto es $$P(x)=(x+3)(x-2)(x-3)$$
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SOLUCIÓN. El coeficiente del término de mayor grado es $1$, con lo cual toda raíz racional ha de ser un número entero divisor del término de grado independiente; ensayemos pues los divisores de $18$, que son $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18\}$. Observemos que $P(2)=0$, luego una raíz de $P(x)$ es $2$. Por el teorema del factor, podemos escribir $P(x)=(x-2)\cdot Q(x)$, siendo, por tanto, $Q(x)=P(x) \div (x-2)$; por comodidad, podemos dividir por el método de Ruffini, obteniendo $Q(x)=x^2-9$. Así, $P(x)=(x-2)\,(x^2-9)$; ahora bien, $x^2-9$ no es un polinomio primo y, lógicamente, las ráices de $x^2-9$ son también raíces de $P(x)$. Veamos cuáles son las raíces de $x^2-9$: $$x^2-9=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, las raíces de $P(x)$ son $-3$, $2$ y $3$, y éste se descompone como producto de factores polinómicos primos de la forma $$P(x)=(x-(-3))(x-2)(x-3)$$ esto es $$P(x)=(x+3)(x-2)(x-3)$$
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domingo, 17 de enero de 2016
Factorización de polinomios
ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$x^3+5\,x^2-x-5$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
martes, 15 de diciembre de 2015
Calcular las raíces del polinomio y expresarlo como producto de factores polinómicos primos
ENUNCIADO. Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo $$P(x)=2\,x^4-x^3-14\,x^2+19\,x-6$$
ENUNCIADO. Primero, trataremos de encontrar raíces racionales, que, por las propiedades estudiadas, sólo pueden ser aquellas cuyo numerador sea algún divisor de $-6$ ( el término independiente del polinomio ) y cuyo denominador sea algún divisor del coeficiente del término de mayor grado, que es $2$.
Vemos que $\text{div}(-6)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\}$ y $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$, luego las posibles raíces racionales ( incluidas las enteras ) son $$\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\,,\,\pm\dfrac{1}{2}\,,\,\dfrac{3}{2}\}$$
Empleando el teorema del resto, y dividiendo por Ruffini, vamos a ir probándolas. Observemos que $\text{resto}(P(x)\div (x-1))=0$ y, por tanto, una primera raíz es $r_1=1$; en efecto $$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & -1 & -14 & 19 & -6\\
1 & & 2 & 1 & -13 & 6\\
\hline & 2 & 1 & -13 & 6 & 0\end{array}$$
entonces, por el teorema del factor, $$P(x)=(x-1)(2x^3+x^2-13x+6)$$ Las otras raíces de $P(x)$ ( si las hay ) deberán ser raíces de $2x^3+x^2-13x+6$. Podemos comprobar ( dividiendo otra vez por $(x-1)$ ) que el resto de $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-1)$ es distinto de $0$, por lo que $r_1=1$ sólo aparece una vez, con lo cual su multiplicidad es $1$. Probemos, a continuación el valor $2$, como posible raíz: al dividir $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-2)$ obtenemos resto igual a $0$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 1 & -13 & 6 \\
2 & & 4 & 10 & -6\\
\hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$$
luego otra raíz es $r_2=2$, y ( otra vez ) por el teorema del factor $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x^2+5x-3)$$ Vemos, finalmente, si el polinomio remanente $2x^2+5x-3$ tiene, a su vez, raíces ( que serán también de $P(x)$ ); para ello, imponemos la condición necesaria $$2x^2+5x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot (-3)\cdot 2}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}
1/2
\\
\text{ó}
\\
-3
\end{matrix}\right.$$
Por tanto $$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)\left(x-(-3)\right)$$ esto es
$$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)(x+3)$$
que es la respuesta a la segunda pregunta ( factorización de $P(x)$ ).
NOTA: Observemos que ha sido necesario, multiplicar por el factor $2$, para ajustar el producto de factores, pues ( recordemos que ) el coeficiente del término de mayor grado no es $1$ sino $2$.
También podemos dar el polinomio de la forma $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x-1)(x+3)$$
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ENUNCIADO. Primero, trataremos de encontrar raíces racionales, que, por las propiedades estudiadas, sólo pueden ser aquellas cuyo numerador sea algún divisor de $-6$ ( el término independiente del polinomio ) y cuyo denominador sea algún divisor del coeficiente del término de mayor grado, que es $2$.
Vemos que $\text{div}(-6)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\}$ y $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$, luego las posibles raíces racionales ( incluidas las enteras ) son $$\{\pm 1\,,\,\pm 2\,,\,\pm 3\,,\,\pm 6\,,\,\pm\dfrac{1}{2}\,,\,\dfrac{3}{2}\}$$
Empleando el teorema del resto, y dividiendo por Ruffini, vamos a ir probándolas. Observemos que $\text{resto}(P(x)\div (x-1))=0$ y, por tanto, una primera raíz es $r_1=1$; en efecto $$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & -1 & -14 & 19 & -6\\
1 & & 2 & 1 & -13 & 6\\
\hline & 2 & 1 & -13 & 6 & 0\end{array}$$
entonces, por el teorema del factor, $$P(x)=(x-1)(2x^3+x^2-13x+6)$$ Las otras raíces de $P(x)$ ( si las hay ) deberán ser raíces de $2x^3+x^2-13x+6$. Podemos comprobar ( dividiendo otra vez por $(x-1)$ ) que el resto de $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-1)$ es distinto de $0$, por lo que $r_1=1$ sólo aparece una vez, con lo cual su multiplicidad es $1$. Probemos, a continuación el valor $2$, como posible raíz: al dividir $(2x^3+x^2-13x+6)\div(x-2)$ obtenemos resto igual a $0$
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 2 & 1 & -13 & 6 \\
2 & & 4 & 10 & -6\\
\hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$$
luego otra raíz es $r_2=2$, y ( otra vez ) por el teorema del factor $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x^2+5x-3)$$ Vemos, finalmente, si el polinomio remanente $2x^2+5x-3$ tiene, a su vez, raíces ( que serán también de $P(x)$ ); para ello, imponemos la condición necesaria $$2x^2+5x-3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot (-3)\cdot 2}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}
1/2
\\
\text{ó}
\\
-3
\end{matrix}\right.$$
Por tanto $$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)\left(x-(-3)\right)$$ esto es
$$P(x)=2\,(x-1)(x-2)(x-1/2)(x+3)$$
que es la respuesta a la segunda pregunta ( factorización de $P(x)$ ).
NOTA: Observemos que ha sido necesario, multiplicar por el factor $2$, para ajustar el producto de factores, pues ( recordemos que ) el coeficiente del término de mayor grado no es $1$ sino $2$.
También podemos dar el polinomio de la forma $$P(x)=(x-1)(x-2)(2x-1)(x+3)$$
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domingo, 25 de octubre de 2015
Determinar las raíces ...
ENUNCIADO. Encontrar las raíces ( reales ) del siguiente polinomio $$P(x)=x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3$$
SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por los números $$\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0 \}$$ por lo que debemos resolver la ecuación $$x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3=0$$ que es bicuadrada, luego haciendo la transformación $t=x^2$, llegamos a $$t^2-2\,\sqrt{3}\,t+3=0$$ de donde $$t=\dfrac{-2\,\sqrt{3}\pm \sqrt{(-2\,\sqrt{3})^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\pm |\sqrt{3}|$$
Deshaciendo la transformación $$x=\sqrt{t}$$ por tanto si $t=-|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{-|\sqrt{3}|} \notin \mathbb{R}$; y, si $t=|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{|\sqrt{3}|}=\pm \,|\sqrt[4]{3}|$. Por tanto las raíces de $P(x)$ son $$\{- \,|\sqrt[4]{3}|\,,\,|\sqrt[4]{3}|\}$$
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SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por los números $$\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0 \}$$ por lo que debemos resolver la ecuación $$x^4-2\,\sqrt{3}\,x^2+3=0$$ que es bicuadrada, luego haciendo la transformación $t=x^2$, llegamos a $$t^2-2\,\sqrt{3}\,t+3=0$$ de donde $$t=\dfrac{-2\,\sqrt{3}\pm \sqrt{(-2\,\sqrt{3})^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\pm |\sqrt{3}|$$
Deshaciendo la transformación $$x=\sqrt{t}$$ por tanto si $t=-|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{-|\sqrt{3}|} \notin \mathbb{R}$; y, si $t=|\sqrt{3}|$, $x=\sqrt{|\sqrt{3}|}=\pm \,|\sqrt[4]{3}|$. Por tanto las raíces de $P(x)$ son $$\{- \,|\sqrt[4]{3}|\,,\,|\sqrt[4]{3}|\}$$
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[autoría]
Polinomios primos
ENUNCIADO. Escribir un polinomio primo de grado $4$
SOLUCIÓN. Un polinomio se dice primo si no tiene raíces ( reales ). Un polinomio de grado $4$ que no tiene raíces reales es, por ejemplo, $x^4+1$, ya que no existe ningún número real tal que al hacer su potencia cuarta ( al intentar encontrar las raíces de dicho polinomio: $x^4+1=0 \Leftrightarrow x^4=-1 \Leftrightarrow x=\sqrt[4]{-1}$ ) dé como resultado $-1$.
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SOLUCIÓN. Un polinomio se dice primo si no tiene raíces ( reales ). Un polinomio de grado $4$ que no tiene raíces reales es, por ejemplo, $x^4+1$, ya que no existe ningún número real tal que al hacer su potencia cuarta ( al intentar encontrar las raíces de dicho polinomio: $x^4+1=0 \Leftrightarrow x^4=-1 \Leftrightarrow x=\sqrt[4]{-1}$ ) dé como resultado $-1$.
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[autoría]
lunes, 28 de septiembre de 2015
Resolver la ecuación ...
ENUNCIADO. Resolver al siguiente ecuación algebraica $$x^4-6x^2+8=0$$
SOLUCIÓN. Procedemos, encontrar las raíces del polinomio $$P(x)=x^4-6x^2+8$$
empezando con las posibles raíces enteras, que sólo podemos encontrarlas en el conjunto $\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\}$, por estos los divisores del término independiente. Probando estos números ( empleando el teorema del resto o bien sustituyendo en la expresión del polinomio ) vemos que las únicas raíces enteras son $-2$ y $2$; en efecto, $P(-2)=0$ y $P(2)=0$, luego dos factores polinómicos de $P(x)$ son $(x-2)$ y $(x+2)$. Dividiendo ahora $P(x)$ entre $(x-2)(x+2)$ se obtiene como cociente el polinomio $x^2-2$, polinomio de segundo grados cuyas raíces son $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$. No pueden haber más raíces del polinomio $P(x)$ ya que es de cuarto grado y hemos encontrado cuatro raíces. De todo esto podemos concluir que la solución pedida viene dado por el conjunto de números $$\{-\sqrt{2},\sqrt{2},-2,2\}$$
{\sc Comentario.} Otra forma en que podríamos haber resuelto la ecuación propuesta ( que es bicuadrada ) consistiría en hacer la trasformación $t:=x^2$, llegando a la ecuación $t^2-6t^2+8=0$; resolviéndola por el procedimiento habitual de las ecuaciones de segundo grado y, deshaciendo la transformación ( $x=\sqrt{t}$ ) con los dos valores encontrados para $t$, obteniendo las cuatro raíces. Sin embargo, cabe decir que no todas las ecuaciones de grado $4$ son bicuadradas y por tanto esto no constituye un procedimiento general.
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SOLUCIÓN. Procedemos, encontrar las raíces del polinomio $$P(x)=x^4-6x^2+8$$
empezando con las posibles raíces enteras, que sólo podemos encontrarlas en el conjunto $\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8\}$, por estos los divisores del término independiente. Probando estos números ( empleando el teorema del resto o bien sustituyendo en la expresión del polinomio ) vemos que las únicas raíces enteras son $-2$ y $2$; en efecto, $P(-2)=0$ y $P(2)=0$, luego dos factores polinómicos de $P(x)$ son $(x-2)$ y $(x+2)$. Dividiendo ahora $P(x)$ entre $(x-2)(x+2)$ se obtiene como cociente el polinomio $x^2-2$, polinomio de segundo grados cuyas raíces son $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$. No pueden haber más raíces del polinomio $P(x)$ ya que es de cuarto grado y hemos encontrado cuatro raíces. De todo esto podemos concluir que la solución pedida viene dado por el conjunto de números $$\{-\sqrt{2},\sqrt{2},-2,2\}$$
{\sc Comentario.} Otra forma en que podríamos haber resuelto la ecuación propuesta ( que es bicuadrada ) consistiría en hacer la trasformación $t:=x^2$, llegando a la ecuación $t^2-6t^2+8=0$; resolviéndola por el procedimiento habitual de las ecuaciones de segundo grado y, deshaciendo la transformación ( $x=\sqrt{t}$ ) con los dos valores encontrados para $t$, obteniendo las cuatro raíces. Sin embargo, cabe decir que no todas las ecuaciones de grado $4$ son bicuadradas y por tanto esto no constituye un procedimiento general.
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[autoría]
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