ENUNCIADO. Calcular las raíces del siguiente polinomio y factorizarlo $$P(x)=x^4-2\,x^3-5\,x^2+6\,x$$
SOLUCIÓN. Un primer paso de factorización, en este caso, consiste simplemente en aplicar la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto: $$P(x)=x\,(x^3-2\,x^2-5\,x+6 )$$ luego una de la raíces es $r_1=0$.
A continuación, procedamos a obtener otras posibles raíces, que necesariamente han de ser también raíces del polinomio de tercer grado del segundo miembro. Una de las propiedades que hemos estudiado nos dice que las posibles raíces enteras del polinomio $x^3-2\,x^2-5\,x+6$ tenemos que buscarlas entre los divisores del término independiente ( que es $6$ ), esto es, en el conjunto $\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$.
Ensayando el valor $x=1$, vemos que $\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right)_{x=1}=0$, luego $1$ es otra raíz de $P(x)$: $r_2=1$. Así, tenemos otro paso de factorización ( teorema del factor ), $$P(x)=x\,(x-1)\,Q(x)$$ Conocemos $Q(x)$ haciendo la división $$\left(x^3-2\,x^2-5\,x+6\right) \div (x-1)$$ [que, por comodidad, podemos realizar por el método de Ruffini ] obteniendo $$Q(x)=x^2-x-6$$
El polinomio $P(x)$ ( que es de cuarto grado ) puede por tanto tener otras dos raíces más, que serían las de $Q(x)$. Procedemos pues a determinar las raíces de $Q(x)$. Al tratarse de un polinomio de segundo grado, disponemos de fórmula para encontrar, directamente, las raíces del mismo ( si es que las tiene ): la condición para encontrar raíces es $Q(x)=0$, luego $$0=x^2-x-6 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ 3\end{matrix}\right.$$ Así, vemos que $P(x)$ tiene otras dos raíces: $r_3=-2$ y $r_4=3$.
Resumiendo, el conjunto de raíces de $P(x)$ es $\{0,-2,1,3\}$, por lo que el polinomio factoriza de la siguiente forma $$P(x)=x\,(x-(-2))(x-1)(x-3)$$ esto es $$P(x)=x\,(x+2)(x-1)(x-3)$$
$\square$
