ENUNCIADO. En un instituto hay $160$ chicas matriculadas ( de las cuales $35$ estudian alemán ) y $150$ chicos matriculados ( de los cuales $40$ estudian alemán ). Se elige ( al azar ) una persona matriculada en dicho instituto.
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida estudie alemán
b) Sabiendo que la persona elegida estudia alemán, ¿ cuál es la probabilidad de que sea una chica ? ¿ y de que sea un chico ?.
SOLUCIÓN. Denotemos los sucesos que se refieren a las características de una persona elegida al azar y que intervienen en el planteamiento del problema de la siguiente manera:
$A$: estudiar alemán
$M$: ser mujer
$V$: ser varón
a) Entonces, $$A=(A \cap M) \cup ( A \cap V)$$ Los sucesos que figuran entre paréntesis, en el segundo miembro, son incompatibles y constituyen una partición del espacio muestral $\Omega$ asociado a la experiencia aleatoria 'elegir una persona', luego $$P(A)=P(A \cap M) + P(A \cap V)$$ y por la definición de probabilidad de sucesos condicionados podemos escribir lo anterior de la forma $$P(A)=P(A|M)\,P(M)+P(A|V)\,P(V)$$ Teniendo ahora en cuenta los datos del problema, $$P(A)=\dfrac{35}{160}\cdot \dfrac{160}{160+150}+\dfrac{40}{150}\cdot \dfrac{150}{160+150}=\dfrac{15}{62}\approx 24\,\%$$
b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(M|A)=\dfrac{P(A|M)\,P(M)}{P(A)}$$ luego, con los datos, resulta $$P(M|A)=\dfrac{(35/160)\cdot (160/(160+150))}{15/62}=\dfrac{7}{15}\approx 47\,\%$$ y procediendo de manera análoga para $P(M|V)$, $$P(M|V)=\dfrac{P(V|M)\,P(M)}{P(A)}$$ resultando $$P(M|V)=\dfrac{(40/150)\cdot (150/(160+150))}{15/62}=\dfrac{8}{15}\approx 53\,\%$$
$\square$
