SOLUCIÓN.
La función $B(x)$ está definida ( atendiendo al significado de la misma ) para $x \ge 0$, tal como se muestra en el gráfico ( que no es necesario dibujar en el examen ). Para maximizar el beneficio, encontraremos primero los máximos relativos ( entre los extremos relativos de la función ) y, a partir, de estos, deduciremos el máximo absoluto.
Veamos, pues, cuáles son los extremos relativos. Imponiendo la condición necesaria $B'(x)=0$, obtenemos $$0=1,2-3\,(0,1\,x)^2\cdot (0,1x)'$$ es decir $$0=1,2-0,003\,x^2$$ luego los extremos relativos que aparecen tienen por abscisas $$x_{1}^{*}=-20 \quad \text{y}\quad x_{2}^{*}=20$$ Es evidente que la primera cae fuera del dominio de definición de la función.
Comprobemos, ahora, que la segunda corresponde a un máximo; para ello, empleamos el criterio del signo de la segunda derivada. La derivada segunda es $$B''(x)=-0,003x$$ luego $B''(x_{2}^{*})=B''(20)=-0,003\cdot 20 < 0$ y, por consiguiente, queda probado que esta segunda abscisa corresponde a un máximo relativo o local. Además, la función no presenta otros máximos relativos, luego el máximo es también absoluto, luego la abscisa encontrada da respuesta a la primera pregunta: la producción mensual que maximiza el beneficio es de $20$ unidades. Y dicho beneficio máximo es igual a $B(20)=1,2\cdot 20-(0,1\cdot 20)^3=16$ decenas de miles de euros.
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