Ejercitando las reglas de derivación

Ejercicios de aplicación de las reglas de derivación:

1.
$\displaystyle y=2\,x^3+4\,x^2-5\,x+6$
  Solución:
    $\displaystyle y'=6\,x^2+8\,x-5$

2.

$\displaystyle y=\big(3\,x-7\big)^{456}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=456\,\cdot\,\big(3\,x-7\big)^{455}\,\cdot\,(3\,x-7)'$
          $\displaystyle = 1368\,\cdot\,\big(3\,x-7\big)^{455}$

3.

$\displaystyle y=\sqrt[8]{x^7}$
  Solución:
    $\displaystyle y=x^{\frac{7}{8}}$
    $\displaystyle y'=\frac{7}{8}\,x^{\frac{7}{8}-1}$
          $\displaystyle = \frac{7}{8}\,x^{-\frac{1}{8}}$
          $\displaystyle = \frac{7}{8\,\sqrt[8]{x}}$

4.

$\displaystyle y=2^{x+3}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=\ln{(2)}\,\cdot \, e^{x+3} \,\cdot \,(x+3)'$
          $\displaystyle = \ln{(2)}\,\cdot \, e^{x+3}$

5.

$\displaystyle y=\ln{(x+3)}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=\frac{1}{x+3} \,\cdot \,(x+3)'$
          $\displaystyle = \frac{1}{x+3}$

6.

$\displaystyle y=x\,\ln{(x+3)}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=x\,\cdot\,\big(\ln{(x+3)}\big)'+(x)'\,\cdot\,\ln{(x+3)}$
          $\displaystyle = \frac{x}{x+3}+\ln{(x+3)}$

7.

$\displaystyle y=x \cdot 2^{x+3}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=x\,\cdot\,\big(2^{x+3}\big)'+(x)'\,\cdot\,2^{x+3}$
          $\displaystyle = x \, \cdot \, \Big( \ln{2} \, \cdot \, 2^{x+3} \Big) + 2^{x+3} $
          $\displaystyle = 2^{x+3} \Big( x \, \cdot \, \ln{2} + 1 \Big)$

8.

$\displaystyle y=\sin{(x^2-x+1)}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=\big(\sin{(x^2-x+1)}\big)'\,\cdot\,\big(x^2-x+1\big)' $
          $\displaystyle = \cos{(x^2-x+1)} \, \cdot \, \big(2x-1\big)$

9.

$\displaystyle y=\dfrac{e^x}{x}$
  Solución:
    $\displaystyle y=e^x\,\cdot\,x^{-1}$
    $\displaystyle y'=x^{-1}\,\cdot\,\big(e^{x}\big)'+(x^{-1})'\,\cdot\,e^x$
          $\displaystyle = x^{-1}\,\cdot\,e^x+\big(-x^{-2}\big)\,\cdot\,e^x$
          $\displaystyle = e^{x}\,\big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\big)$
          $\displaystyle = \dfrac{x-1}{x^2}\,\cdot \, e^{x}$

9.

$\displaystyle y=\tan{x^3}$
  Solución:
    $\displaystyle y'=\dfrac{1}{\cos^{2}{(x^3)}}\,\cdot\,(x^3)'$
    $\displaystyle y'=\dfrac{3\,x^2}{\cos^{2}{(x^3)}}$

$\square$