ENUNCIADO. Sean tres puntos del plano cartesiano $A(-1,1)$, $B(1,1)$ y $C(0,-1)$. Se pide:
a) Determinar el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pasa por estos tres puntos
b) Considerando un punto $P$ cuya abscisa es igual a $\dfrac{2}{3}$, ¿ cuál es la ordenada que le corresponde por interpolación ?
SOLUCIÓN.
a) El polinomio interpolador de segundo grado tiene la forma $P(x)=a\,x^2+b\,x+c$. Para determinar el valor de los coeficientes $a,b$ y $c$, impondremos que la ecuación se cumpla para cada uno de los puntos ( método de los coeficientes indeterminados ). Así:
$$A: 1=a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c$$
$$B: 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$C: -1=a\cdot c= 2+b\cdot 0+c$$
da lugar al sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a&-&b& +&c& =& 1 \\ a&+&b& +&c& =& 1 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
Para obtener el sistema reducido por Gauss basta con restar la primera ecuación a la segunda ( término a término y miembro a miembro ) sustituyendo la segunda ecuación original por la que resulta de dicha combinación: $$\left\{\begin{matrix}a&-&b& +&c& =& 1 \\ &&2b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
con lo cual $$\left\{\begin{matrix}a&&& -&1& =& 1 \\ &&b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}a&&& && =& 2 \\ &&b&&& =& 0 \\ &&& &c& =& -1\end{matrix}\right.$$
Resulta así que $$P(x)=2\,x^2-1$$
b)
Sustituyendo la variable independiente por el valor dado,
$$P(2/3)=2\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2-1$$
y operando llegamos al valor pedido $$P(2/3)=-\dfrac{1}{9}$$
$\square$
