ENUNCIADO. Abrimos una cuenta bancaria, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $1,7\,\%$. Depositamos en dicha cuenta $1\,200,00$ euros y no realizamos otras operaciones. En el contrato se especifica que los intereses que producen la cantidad depositada ser harán efectivos cada dos meses.
a) Calcular la $\text{TAE}$ ( tasa anual equivalente )
b) Al cabo de cierto tiempo, retiramos el dinero de la cu enta: $1\,500\,00$ euros. ¿ Durante cuánto tiempo hemos tenido el dinero en la cuenta ?.
SOLUCIÓN.
a)
Calculamos el valor de la $\text{TAE}$ mediante la fórmula deducida en clase:
$$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^f-1$$ Teniendo en cuenta que los intereses se acumulan al capital con una frecuencia $f$ de $\dfrac{12}{2}=6$ veces al año y que la tasa de interés anual en tanto por unidad es $i=\dfrac{1,7}{100}=0,017$ ya podemos aplicar la fórmula con estos datos, resultando $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{0,017}{6}\right)^6-1=0,0171=1,71\,\%$$
b)
El capital acumulado hasta un cierto instante de tiempo $t$ ( expresado en años ) viene dado por $$C(t)=C_0\cdot \left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Teniendo en cuenta que el capital final es igual a $1\,500\,00$ euros y que el capital inicial es $C_0=1\,200\,00$ euros ( recordemos, también que $f=6$ ), llegamos a una ecuación del tipo exponencial $$1500=1200\cdot \left(1+\dfrac{0,017}{6}\right)^{6\,t}$$ que simplificada queda $$\dfrac{5}{4}=1,0028^{6\,t}$$ Para despejar la incógnita $t$ extraemos logaritmos en ambos miembros de la igualdad $$\ln \dfrac{5}{4}=\ln 1,0028^{6\,t}$$ y por tanto $$\ln \dfrac{5}{4}=6t\cdot \ln 1,0028$$ luego $$t=\dfrac{\ln(5/4)}{6\cdot \ln 1,0028}\approx 13,009 \; \text{años}=13 \; \text{años}\; 3\quad \text{meses}\; 18 \; \text{días}$$
$\square$
