Acerca de la tasa anual equivalente (TAE)

Recordemos que, en el problema del interés compuesto, la tasa anual equivalente (TAE) se calcula de la siguiente manera: $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{f}-1$$ donde $i$ es la tasa de interés anual y $f$ es el número de intervalos iguales en los que se divide un año a efectos de que se hagan efectivos los intereses. Desde luego, si $f=1$ ( el año se divide en un solo intervalo ), entonces $\text{TAE}=i$ y, si no es así, $f \succ 1$ y la $\text{TAE}$ aumenta conforme crece el número de intervalos en los que se divide el año; este aumento de la $\text{TAE}$, para un valor dado de $i$ está acotado y, además, la sucesión de valores crecientes de la misma ( según aumenta $f$ ) tiene límite, que es el siguiente: $$\displaystyle \lim_{f \rightarrow \infty}\, \left(\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{f}-1\right)=\lim_{f \rightarrow \infty}\, \left(\left(\left(1+\dfrac{1}{f/i}\right)^{f/i}\right)^{i}-1\right)=e^i-1$$
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Abrimos una cuenta bancaria, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del 1,7% ...

ENUNCIADO. Abrimos una cuenta bancaria, a interés compuesto, con una tasa de interés anual del $1,7\,\%$. Depositamos en dicha cuenta $1\,200,00$ euros y no realizamos otras operaciones. En el contrato se especifica que los intereses que producen la cantidad depositada ser harán efectivos cada dos meses.
a) Calcular la $\text{TAE}$ ( tasa anual equivalente )
b) Al cabo de cierto tiempo, retiramos el dinero de la cu enta: $1\,500\,00$ euros. ¿Durante cuánto tiempo hemos tenido el dinero en la cuenta?

SOLUCIÓN.
a)
Calculamos el valor de la $\text{TAE}$ mediante la fórmula deducida en clase:
$$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{i}{f}\right)^f-1$$ Teniendo en cuenta que los intereses se acumulan al capital con una frecuencia $f$ de $\dfrac{12}{2}=6$ veces al año y que la tasa de interés anual en tanto por unidad es $i=\dfrac{1,7}{100}=0,017$ ya podemos aplicar la fórmula con estos datos, resultando $$\text{TAE}=\left(1+\dfrac{0,017}{6}\right)^6-1=0,0171=1,71\,\%$$

b)
El capital acumulado hasta un cierto instante de tiempo $t$ ( expresado en años ) viene dado por $$C(t)=C_0\cdot \left(1+\dfrac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Teniendo en cuenta que el capital final es igual a $1\,500\,00$ euros y que el capital inicial es $C_0=1\,200\,00$ euros ( recordemos, también que $f=6$ ), llegamos a una ecuación del tipo exponencial $$1500=1200\cdot \left(1+\dfrac{0,017}{6}\right)^{6\,t}$$ que simplificada queda $$\dfrac{5}{4}=1,0028^{6\,t}$$ Para despejar la incógnita $t$ extraemos logaritmos en ambos miembros de la igualdad $$\ln \dfrac{5}{4}=\ln 1,0028^{6\,t}$$ y por tanto $$\ln \dfrac{5}{4}=6t\cdot \ln 1,0028$$ luego $$t=\dfrac{\ln(5/4)}{6\cdot \ln 1,0028}\approx 13,009 \; \text{años}=13 \; \text{años}\; 3\quad \text{meses}\; 18 \; \text{días}$$
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Calcular la TAE

ENUNCIADO. Depositamos una cierta cantidad de dinero en una cuenta bancaria remunerada ( con los intereses ), a una tasa de interés anual del $3\,\%$, durante un cierto número de años, y con una frecuencia de liquidación de intereses: a) anual ( cada 12 meses ), b) trimestral y c) mensual. Calcular la Tasa Anual Equivalente ( TAE ) en cada uno de estos casos.

SOLUCIÓN.
Procedemos a aplicar la fórmula para el cálculo de la Tasa Anual Equivalente:
a) Si la frecuencia de liquidación es de $12$ veces al año, $f=1$, $TAE=I$ ( como ya hemos comentado en la observación ); en efecto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{1}\right)^{1}-1=0,03=3\,\%$$

b) Si la frecuencia de liquidación es trimestral, es decir, se ésta se realiza $\dfrac{12}{3}=4$ veces al año, $f=4$, obtenemos $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{4}\right)^{4}-1=0,0303 \approx 3,03\,\%$$

c) Si la frecuencia de liquidación es mensual, esto es, la liquidación se realiza $\dfrac{12}{12}=1$ vez al año, $f=12$, obtenemos $$\text{TAE}=\left(1+\frac{0,03}{12}\right)^{12}-1=0,0304 \approx 3,04\,\%$$
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Observación:
En este ejemplo comprobamos que el valor de la TAE crece conforme la frecuencia de liquidación de intereses aumenta, y viceversa.

[autoría]

Fórmula del capital final ( a interés compuesto )

Deducción de la fórmula del capital final a interés compuesto

Denotamos por:

$C(j)$: capital al término del $j$-ésimo año ( $j=0,1,\ldots,t$ )
$C_0:=C(0) \ge 0$: capital inicial
$C_{\text{final}}:=C(t)$: capital final
$t$: número de años en depósito
$i$: tasa de interés anual
$f$: frecuencia de liquidación de intereses ( y del pago de la cuota ) en el intervalo de $1$ año

Vamos a suponer, primero, que $C_0=1$, y que $f=1$. Entonces:

al término del primer año obtenemos: $C(1)=1+i$
al término del segundo año: $C(2)=C(1) \cdot (1+i)=(1+i)^2$
al término del tercer año: $C(3)=C(2) \cdot (1+i)=(1+i)^3$
...
y al finalizar el $t$-ésimo año: $C(t)=C(t-1) \cdot (1+i)=(1+i)^t$

Luego el capital final, $C_{\text{final}}$, producido en estas condiciones ( los términos de la sucesión $[C(j)]$ crecen ( $1+i \succ 0$ ) de forma geométrica ) es $$C(t)=C_0\cdot (1+i)^t$$ Podemos generalizar, ahora, esta fórmula, para $C_0 \neq 1$ y $f \succ 1$ escribiendo la expresión general $$C(t)=C_0\cdot\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$$ Cabe apuntar aquí que $\left(1+\frac{i}{f}\right)^{t\cdot f}$ es creciente con $f$.

Tasa Anual Equivalente ( TAE ):
En el caso general ( $f \succ 1$ ) se utiliza la denominada Tasa Anual Equivalente, muy útil para comparar productos bancarios, al objeto de poder tomar una decisión a la hora de contratar uno u otro. Se basa en lo siguiente: en $1$ año, el capital final ( al cabo de ese año ) que se obtiene, pongamos que con $C_0=1$ ( es irrelevante el valor de $C_0$ ), en términos de esta tasa equivalente, ha de ser igual a $$1+\text{TAE}$$ y, por otra parte, según lo dicho arriba, ha de contabilizarse como $$\left(1+\frac{i}{f}\right)^{1\cdot f}$$ luego $$1+\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}$$ y por tanto $$\text{TAE}=\left(1+\frac{i}{f}\right)^{f}-1$$

NOTA: Evidentemente, en el caso de que $f$ sea igual a $1$ ( liquidación con período de $1$ año de los intereses que se van generando ) tendremos que $\text{TAE}=i$, como debe ser.

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[autoría]

Un exercici bàsic sobre el problema de l'interès compost

Enunciat:
Primera part:
Considerem una quantitat $C_{0}$ (donada en unitats monetàries arbitràries ) que cada determinat interval de temps produeix un benefici que calculem com una part proporcional del valor de la quantitat acumulada a l'interval de temps anterior. Designem amb la lletra $i$ ( en tant per u ) aquesta part proporcional, i l'anomenarem taxa d'interès nominal ( referida al període de temps establert ). Quina quantitat queda acumulada al final de l'n-èssim interval de temps ? Quin benefici ( interès ) s'obté ?.

Segona part:
Volem fer un pla d'estalvis i, per això, dipositem un capital inicial $C_0$ de $600,00\,\text{euro}$ en un dipòsit bancari, a una taxa d'interès anual $i$ del $2\,\%$ un temps total de $2 \;\text{anys}$. Tenint en compte que la freqüència $f$ amb què es compatibilitzen els interessos és igual a $4$ ( trimestralment ), calculeu:
  a) El capital final $C_{final}$
  b) Els interessos finals $I$
  c) El valor de la taxa anual equivalent ( $\text{T.A.E.}$ ) d'aquest pla d'estalvis

Solució de la primera part:
Al final del primer interval la quantitat $C_0$ s'ha convertit en $C_0+C_0\,i$ que, per comoditat, expressem de la forma $C_{0}\,(1+i)$

Al final del segon interval, trobem $C_{0}\,(1+i)\,i+C_{0}\,(1+i)$ i, traient factor comú, es pot escriure de la forma $C_{0}\,(1+i)^2$

Al final del tercer interval, trobem $C_{0}\,(1+i)^2\,i+C_{0}\,(1+i)^2$ i, traient factor comú, es pot escriure de la forma $C_{0}\,(1+i)^3$

I, així, successivament, d'acord amb la regla de formació del valors dels termes d'una successió geomètrica. Per tant, és clar que al final de l'n-èssim interval trobarem una quantitat acumulada $C_n$ igual a $C_{0}\,(1+i)^n$

El benefici obtingut ( que anomenem interès compost i designem amb la lletra $I$ ) és, per definició, $C_n-C_0$ i, operant, s'escriu
$I=C_{0}\,(1+i)^n-C_0$
  $=C_0\,\big((1+i)^n-1\big)$

Solució de la segona part:
a)
Tenint en compte, ara, que, el nombre d'intervals $n$ és igual a $f\cdot t$ i que, per tant, la taxa d'interès que cal tenir en compte per a cada interval és igual a la taxa d'interes anual (nominal) dividida pel nombre d'intervals, $\frac{i}{f}$, podem escriure que el capital final $C_{final}$ és igual a
    $C_{final}=C_0\,\big(1+\frac{i}{f}\big)^{f\,t}$
                $=600,00\,\big(1+\frac{0,02}{4}\big)^{4\cdot 2}$
            $\approx             624,42\;\text{euro}$

b)
El benefici o ( interès final ) és igual a $C_{final}-C_0$, és a dir, $24,42\; \text{euro}$

c)
A partir de la freqüència $f$ amb què es fan efectius els interessos periòdicament, i, de la taxa d'interès nominal $i$, la taxa anual equivalent $\text{T.A.E.}$ es una estimació del rendiment d'un producte financer. Aquesta taxa anual equivalent ( $\text{T.A.E.}$ ) es calcula igualant els interessos que produeix un determinat capital inicial $C_0$ durant un any ( $t=1$ ) comptant: d'una banda, els interessos que produeix d'acord a una taxa d'interès igual a la taxa anual equivalent $\text{T.A.E}$ ( que, precisament, volem calcular), i, de l'altra, els interessos que produeix el mateix capital inicial $C_0$ segons el mode d'interès compost establert ( a una taxa d'interès nominal $i$ i amb una freqüència de capitalització $f$ ).

Per comoditat ( i sense pèrdua de generalitat ) suposarem que el capital inicial $C_0$ és igual a una unitat monetària ( $C_0=1$ ); per tant, d'acord amb el que s'acaba de plantejar, escriurem la següent equació:
    $1+\frac{\text{T.A.E.}}{1}=\big(1+\frac{i}{f}\big)^{1\cdot f}$
d'on, aïllant la incògnita, que és la $\text{T.A.E.}$, arribem a l'expressió que ens ha de servir per calcular aquesta taxa anual equivalent:
    $\text{T.A.E.}=\big(1+\frac{i}{f}\big)^{1\cdot f}-1$

Finalment, substituint les dades del problema ( $i=0,02$   $f=4$ ), trobem el següent resultat:
    $\text{T.A.E.}=\big(1+\frac{0,02}{4}\big)^{1\cdot 4}-1$
                $= 0,02015(05\ldots)$
                $\approx 0,0202(\ldots) \rightarrow 2,02\,\%$

Nota 1:     Com que $f$ representa el nombre d'intervals de capitalització en un any, $f \ge 1$
Nota 2:     Cal remarcar el fet que $\text{T.A.E.} \ge i$ atès que si $f\;\uparrow$, $\text{T.A.E.}\;\uparrow$; en particular, si $f=1$, $\text{T.A.E.}=i$.

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[nota del autor]

Cálculo de la TAE. Un ejercicio de programación en C/C++

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// Càlcul de la Taxa Anual Equivalent
// Joan Aranès Clua
// data: 20/11/2001
// Aquest programa calcula la TAE (Taxa Anual Equivalent)
// a partir de:
//   1. la taxa d’interès nominal anual, i (expressada en tant per u) 
//   2. i del nombre de pagaments de fraccionament, n
// segons la fórmula: $TAE = ( 1 + i/n )^n-1$  
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#include <stdio.h>          //printf i scanf
#include <stdlib.h>         //system() .. per a la f. cls
#include <math.h>			// càlculs
void main()

{

    double i;  // taxa d'interès nominal (dada d'entrada)
    double n;  // nombre de pagaments de fraccionament (dada d'entrada)
	double tae; // TAE anual (resultat del programa expressat en %)

    system("cls"); //esborra la pantalla
    printf("taxa d'inter\x08As nominal - expressada en tant per u -:\n");
    scanf("%lf",&i);
    printf("nombre de pagaments de fraccionament:\n");
    scanf("%lf",&n);
	
    tae=pow(( 1 + i/n ), n)-1; //càlcul de la TAE
    printf("TAE = %.4lf  \n",tae);

}