Enunciat:
Primera part:
Considerem una quantitat $C_{0}$ (donada en unitats monetàries arbitràries ) que cada determinat interval de temps produeix un benefici que calculem com una part proporcional del valor de la quantitat acumulada a l'interval de temps anterior. Designem amb la lletra $i$ ( en tant per u ) aquesta part proporcional, i l'anomenarem taxa d'interès nominal ( referida al període de temps establert ). Quina quantitat queda acumulada al final de l'n-èssim interval de temps ? Quin benefici ( interès ) s'obté ?.
Segona part:
Volem fer un pla d'estalvis i, per això, dipositem un capital inicial $C_0$ de $600,00\,\text{euro}$ en un dipòsit bancari, a una taxa d'interès anual $i$ del $2\,\%$ un temps total de $2 \;\text{anys}$. Tenint en compte que la freqüència $f$ amb què es compatibilitzen els interessos és igual a $4$ ( trimestralment ), calculeu:
a) El capital final $C_{final}$
b) Els interessos finals $I$
c) El valor de la taxa anual equivalent ( $\text{T.A.E.}$ ) d'aquest pla d'estalvis
Solució de la primera part:
Al final del primer interval la quantitat $C_0$ s'ha convertit en $C_0+C_0\,i$ que, per comoditat, expressem de la forma $C_{0}\,(1+i)$
Al final del segon interval, trobem $C_{0}\,(1+i)\,i+C_{0}\,(1+i)$ i, traient factor comú, es pot escriure de la forma $C_{0}\,(1+i)^2$
Al final del tercer interval, trobem $C_{0}\,(1+i)^2\,i+C_{0}\,(1+i)^2$ i, traient factor comú, es pot escriure de la forma $C_{0}\,(1+i)^3$
I, així, successivament, d'acord amb la regla de formació del valors dels termes d'una successió geomètrica. Per tant, és clar que al final de l'n-èssim interval trobarem una quantitat acumulada $C_n$ igual a $C_{0}\,(1+i)^n$
El benefici obtingut ( que anomenem interès compost i designem amb la lletra $I$ ) és, per definició, $C_n-C_0$ i, operant, s'escriu
$I=C_{0}\,(1+i)^n-C_0$
$=C_0\,\big((1+i)^n-1\big)$
Solució de la segona part:
a)
Tenint en compte, ara, que, el nombre d'intervals $n$ és igual a $f\cdot t$ i que, per tant, la taxa d'interès que cal tenir en compte per a cada interval és igual a la taxa d'interes anual (nominal) dividida pel nombre d'intervals, $\frac{i}{f}$, podem escriure que el capital final $C_{final}$ és igual a
$C_{final}=C_0\,\big(1+\frac{i}{f}\big)^{f\,t}$
$=600,00\,\big(1+\frac{0,02}{4}\big)^{4\cdot 2}$
$\approx 624,42\;\text{euro}$
b)
El benefici o ( interès final ) és igual a $C_{final}-C_0$, és a dir, $24,42\; \text{euro}$
c)
A partir de la freqüència $f$ amb què es fan efectius els interessos periòdicament, i, de la taxa d'interès nominal $i$, la taxa anual equivalent $\text{T.A.E.}$ es una estimació del rendiment d'un producte financer. Aquesta taxa anual equivalent ( $\text{T.A.E.}$ ) es calcula igualant els interessos que produeix un determinat capital inicial $C_0$ durant un any ( $t=1$ ) comptant: d'una banda, els interessos que produeix d'acord a una taxa d'interès igual a la taxa anual equivalent $\text{T.A.E}$ ( que, precisament, volem calcular), i, de l'altra, els interessos que produeix el mateix capital inicial $C_0$ segons el mode d'interès compost establert ( a una taxa d'interès nominal $i$ i amb una freqüència de capitalització $f$ ).
Per comoditat ( i sense pèrdua de generalitat ) suposarem que el capital inicial $C_0$ és igual a una unitat monetària ( $C_0=1$ ); per tant, d'acord amb el que s'acaba de plantejar, escriurem la següent equació:
$1+\frac{\text{T.A.E.}}{1}=\big(1+\frac{i}{f}\big)^{1\cdot f}$
d'on, aïllant la incògnita, que és la $\text{T.A.E.}$, arribem a l'expressió que ens ha de servir per calcular aquesta taxa anual equivalent:
$\text{T.A.E.}=\big(1+\frac{i}{f}\big)^{1\cdot f}-1$
Finalment, substituint les dades del problema ( $i=0,02$ $f=4$ ), trobem el següent resultat:
$\text{T.A.E.}=\big(1+\frac{0,02}{4}\big)^{1\cdot 4}-1$
$= 0,02015(05\ldots)$
$\approx 0,0202(\ldots) \rightarrow 2,02\,\%$
Nota 1: Com que $f$ representa el nombre d'intervals de capitalització en un any, $f \ge 1$
Nota 2: Cal remarcar el fet que $\text{T.A.E.} \ge i$ atès que si $f\;\uparrow$, $\text{T.A.E.}\;\uparrow$; en particular, si $f=1$, $\text{T.A.E.}=i$.
$\square$
