Ejemplos de cálculo con logaritmos. ( Artículo escrito en catalán )

Propietats dels logaritmes Propietat fonamental: Per poder resoldre els següents equacions farem servir la propietat fonamental: $\log_{b}{a}=l \Leftrightarrow b^l=a$ on $b$ (el valor de la base logarítmica) i $a$ (el valor de l'anti-logaritme) són nombres reals positius i $l$ (el valor del logaritme) és un nombre real $-\infty < l < \infty$ Es compleixen també aquestes altres propietats: $\log_{b}{m\cdot n}=\log_{b}{m}+\log_{b}{n}$ $\log_{b}{\big(m / n\big)}=\log_{b}{m}-\log_{b}{n}$ $\log_{b}{m^n}=n\,\log_{b}{m}$ $\log_{b}{1}=0$ $\log_{b}{0}=-\infty$ Exemples resolts Exemple 1 Equació: $5^x=2$ Resolució: $\ln{\big(5^x\big)}=\ln{2}$ d'on $x\,\ln{5}=\ln{2}$ i d'aquí $x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$ Exemple 2 Equació: $\log_{3}{x}=2$ Resolució: $\log_{3}{x}=2 \Rightarrow 2^3=x$ i d'aquí $x=8$ Exemple 3 Equació: $\log_{x}{3}=4$ Resolució: $\log_{x}{3}=4 \Rightarrow x^4=3$ per tant $x=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$ Exemple 4 Equació: $3^{2x}-3^x-2=0$ Resolució: Si, primer de tot, canviem la denominació (canvi de variable) fent $z=3^x$, l'equació original es transforma en una equació polinòmica de 2n grau $t^2-t-2=0$ que té com a solució els nombres $t_1=2$i $t_2=-1$ Per acabar, cal determinar els valors de $x$ corresponents; per això, cal desfer el canvi de variable. Trobem que del primer valor de $t$ s'obté la solució $3^x=2 \Rightarrow x = \dfrac{\ln{2}}{\ln{3}}$ i, pel que fa al segon valor (negatiu) $3^x=-1$ no aporta cap nou valor a la solució, atès que $\ln{(-1)}$ (el logaritme d'un nombre negatiu no està definit) Exemple 5 $\left.\begin{matrix} 2\,\log{x}+3\,\log{y}=5\\ \\ \log{x}+\log{y}=2\\ \end{matrix}\right\}$ Multiplicant per $-2$ ambdos membres de la segona equació i sumant membre a membre la primera amb la segona equació equivalent trobem una equació amb una sola variable: $\log{y}=1 \Rightarrow y=10$ Per altra banda, i tornant al sistema d'equacions original, multiplicant per $-3$ ambdos membres de la segona equació i sumant membre a membre la primera amb la segona equació equivalent trobem una equació amb una sola variable: $-\log{x}=-1 \Rightarrow x=10$ Exemple 6 $\left.\begin{matrix} 2^x+3^y=1\\ \\ 4 \cdot 2^x+5\cdot 3^y=6\\ \end{matrix}\right\}$ Multiplicant per $-4$ ambdos membres de la primera equació i sumant - membre a membre - la primera i la segona equació equivalent, trobem una equació amb una sola variable: $3^y=2 \Rightarrow y=\dfrac{\ln{2}}{\ln{3}}$ Per altra banda, i tornant al sistema d'equacions original, multiplicant per $-5$ ambdos membres de la segona equació i sumant (membre a membre) la primera amb la segona equació equivalent, trobem una equació amb una sola variable: $-2^x=1 \Rightarrow x=0$. Exemple 7 $\log{(x+\sqrt{3})}+\log{(x-\sqrt{3})}=0$ Aquesta equació es pot escriure de la forma $\log{\big((x+\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\big)}=0$ i d'aquí es dedueix que $(x+\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=1$ ( ja que $\log_{b}{1}=0$ ). Finalment, haurem de resoldre aquesta equació algebraica: $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=1$ és equivalent a $x^2-4=0$ d'on obtenim com a solució els valors $x_1=-2$ i $x_2=2$; no obstant, només podem acceptar el valor $x_2=2$, perquè el negatiu ( $x_1=-2$ ) fa que els argments dels logaritmes de l'equació donada siguin negatius (el logaritme d'un nombre negatiu no està definit). $\square$

[nota del autor]