Calcular el logaritmo ( expresándolo en función de logaritmos con base estándar: $10$ o bien $e$ )

ENUNCIADO. Calcular con cuatro cifras decimales significativas ( $4$ c.d.s. ) $$\log_{3}\,4$$

SOLUCIÓN. Vamos a expresar dicho logaritmo en términos de logaritmos de base $e$ para poder utilizar la tecla de función "logaritmo neperiano" de la calculadora científica ( lo mismo podríamos hacer, si decidiésemos expresarlo en términos de logaritmos de base $10$ o logaritmos de Briggs ); para ello, designamos la cantidad pedida de la forma $$t:=\log_{3}\,4$$ con lo cual, por la propiedad de reciprocidad $$4=3^t$$ Sacando logaritmos neperianos en cada miembro $$\ln\,4=t\,\ln\,3$$ y despejando $t$ $$t=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}$$ esto es $$\log_{3}\,4=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}$$ y empleando ahora la calculadora encontramos $$\log_{3}\,4 \approx 1,2619 \; \text{( 4 c.d.s)}$$
$\square$

[autoría]

Cálculo con logaritmos

ENUNCIADO. Obtener ( con ayuda de la calculadora científica ) el valor de $\log_{0,01}\,3$ y expresarlo con cuatro cifras decimales significativas.

SOLUCIÓN. Para obtener el resultado pedido debemos cambiar la base logarítimica para, así, poder utilizar o bien la función pre-definida de la calculadora que se refiere a logaritmos decimales, $\log$, o bien a la función pre-definida que corresponde a los logaritmos neperianos, $\ln$; en cualquiera de estos dos casos obtendremos el mismo resultado, como debe ser.

Sea $t:=\log_{0,01}\,3$, entonces $3=0,01^t$. Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de esta igualdad $$\ln\,3=t\,\ln\,0,01$$ despejando $t$ $$t=\dfrac{\ln\,3}{\ln\,0,01} \overset{\text{calculadora}}{\approx} -0,2386 \; \text{4 c.d.s.}$$

Nota: Como ya hemos comentado, también podemos decidirnos por los logaritmos decimales, $$\log\,3=t\,\log\,0,01$$ despejando $t$ $$t=\dfrac{\log\,3}{\log\,0,01}=\dfrac{\log\,3}{-2} \overset{\text{calculadora}}{\approx} -0,2386 \; \text{4 c.d.s.}$$

$\square$

[autoría]

Resolver las siguientes ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Resoleu el sistema d'equacions:    

$\left.\begin{matrix} x + y = 1\\ \\ \log{x} + \log{y} = \log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}\\ \end{matrix}\right\}$

Per les propietats dels logaritmes, la segona equació es pot posar de la forma

$\log{(x\,y)}=\log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}$

és a dir

$x\,y = \dfrac{1}{100}$

Llavors, aïllant una de les dues variables (per exemple $y$) queda

$y = \dfrac{1}{100\,x}$

que, substituïda a la primera equació, ens permet escriure una equació amb una sola variable

$x+\dfrac{1}{100 \, x}=1$

equivalent a

$100\,x^2-100\,x+1=0$

d'on traiem que

$x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

i

$x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$

valors aparellats amb els de la variable $y$ (substituint):

$y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

i

$y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$

Per tant, trobem dues solucions

a) $x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

b) $x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$

$\square$

2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
        $3^x=7$

Extraient logaritmes de cada membre de la igualtat

$\ln{\big(3^x\big)}=\ln{7}$

d'on, per les propietats dels logaritmes, queda

$x\, \ln{3}=\ln{7}$

i, aïllant la variable, podrem escriure

$x=\dfrac{\ln{7}}{\ln{3}} \approx 1,7712 \, \text{(5 x.s.)}$

$\square$

3. Resoleu l'equació
        $2^{x^2+5x+8}=4$

Podem expressar el terme independent del segon membre com una potència de de base dos

$2^{x^2+5x+8}=2^2$

d'on es desprèn que els exponents de tots dos membres han de ser iguals (les bases són les mateixes)

$x^2+5x+8=2$

equació que, tota vegada l'hem preparat per ser resolta, queda de la forma

$x^2+5x+6=0$

i dóna els següents resultats

$x=\left\{\begin{matrix} -2\\ \\ -3\\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]

Exemples de càlcul amb logaritmes

Propietats dels logaritmes Propietat fonamental: Per poder resoldre els següents equacions farem servir la propietat fonamental: $\log_{b}{a}=l \Leftrightarrow b^l=a$ on $b$ (el valor de la base logarítmica) i $a$ (el valor de l'anti-logaritme) són nombres reals positius i $l$ (el valor del logaritme) és un nombre real $-\infty < l < \infty$ Es compleixen també aquestes altres propietats: $\log_{b}{m\cdot n}=\log_{b}{m}+\log_{b}{n}$ $\log_{b}{\big(m / n\big)}=\log_{b}{m}-\log_{b}{n}$ $\log_{b}{m^n}=n\,\log_{b}{m}$ $\log_{b}{1}=0$ $\log_{b}{0}=-\infty$ Exemples resolts Exemple 1 Equació: $5^x=2$ Resolució: $\ln{\big(5^x\big)}=\ln{2}$ d'on $x\,\ln{5}=\ln{2}$ i d'aquí $x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$ Exemple 2 Equació: $\log_{3}{x}=2$ Resolució: $\log_{3}{x}=2 \Rightarrow 2^3=x$ i d'aquí $x=8$ Exemple 3 Equació: $\log_{x}{3}=4$ Resolució: $\log_{x}{3}=4 \Rightarrow x^4=3$ per tant $x=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$ Exemple 4 Equació: $3^{2x}-3^x-2=0$ Resolució: Si, primer de tot, canviem la denominació (canvi de variable) fent $z=3^x$, l'equació original es transforma en una equació polinòmica de 2n grau $t^2-t-2=0$ que té com a solució els nombres $t_1=2$i $t_2=-1$ Per acabar, cal determinar els valors de $x$ corresponents; per això, cal desfer el canvi de variable. Trobem que del primer valor de $t$ s'obté la solució $3^x=2 \Rightarrow x = \dfrac{\ln{2}}{\ln{3}}$ i, pel que fa al segon valor (negatiu) $3^x=-1$ no aporta cap nou valor a la solució, atès que $\ln{(-1)}$ (el logaritme d'un nombre negatiu no està definit) Exemple 5 $\left.\begin{matrix} 2\,\log{x}+3\,\log{y}=5\\ \\ \log{x}+\log{y}=2\\ \end{matrix}\right\}$ Multiplicant per $-2$ ambdos membres de la segona equació i sumant membre a membre la primera amb la segona equació equivalent trobem una equació amb una sola variable: $\log{y}=1 \Rightarrow y=10$ Per altra banda, i tornant al sistema d'equacions original, multiplicant per $-3$ ambdos membres de la segona equació i sumant membre a membre la primera amb la segona equació equivalent trobem una equació amb una sola variable: $-\log{x}=-1 \Rightarrow x=10$ Exemple 6 $\left.\begin{matrix} 2^x+3^y=1\\ \\ 4 \cdot 2^x+5\cdot 3^y=6\\ \end{matrix}\right\}$ Multiplicant per $-4$ ambdos membres de la primera equació i sumant - membre a membre - la primera i la segona equació equivalent, trobem una equació amb una sola variable: $3^y=2 \Rightarrow y=\dfrac{\ln{2}}{\ln{3}}$ Per altra banda, i tornant al sistema d'equacions original, multiplicant per $-5$ ambdos membres de la segona equació i sumant (membre a membre) la primera amb la segona equació equivalent, trobem una equació amb una sola variable: $-2^x=1 \Rightarrow x=0$. Exemple 7 $\log{(x+\sqrt{3})}+\log{(x-\sqrt{3})}=0$ Aquesta equació es pot escriure de la forma $\log{\big((x+\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\big)}=0$ i d'aquí es dedueix que $(x+\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=1$ ( ja que $\log_{b}{1}=0$ ). Finalment, haurem de resoldre aquesta equació algebraica: $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=1$ és equivalent a $x^2-4=0$ d'on obtenim com a solució els valors $x_1=-2$ i $x_2=2$; no obstant, només podem acceptar el valor $x_2=2$, perquè el negatiu ( $x_1=-2$ ) fa que els argments dels logaritmes de l'equació donada siguin negatius (el logaritme d'un nombre negatiu no està definit). $\square$

[nota del autor]

La idea central del càlcul amb logaritmes

La idea central del càlcul logarítmic es, de fet, senzilla. Considerem les potències successives d'una base donada, per exemple, de base $2$:
$\{2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},2^{5},2^{6},2^{7},2^{8},2^{9},2^{10}, \ldots \}$, és a dir,
$\{1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,\ldots \}$. Observem que si volem multiplicar dos nombres d'aquesta llista, per exemple $16$ per $32$, sense calculadora (ens constarà una mica, no gaire) n'hi ha prou que, entenent que el resultat ha de ser, lògicament, una altra potència de base $2$, ens adonem, a més a més, que ha de ser aquella que tingui com a exponent la suma dels exponents dels dos factors, $16$ i $32$ - expressats com a potències: $2^4$ i $2^5$ -, és a dir, el resultat (del producte) ha de ser la potència de base $2$ i exponent igual a $4+5$. Si tenim tabulats els valors de les potències en relació a l'exponent, tan sols caldrà consultar aquestes taules i ens estalviarem de fer aquesta multiplicació amb llapis i paper. Certament, els nombres $16$ i $32$ no són pas tan terribles; ho podríem fer amb llapis i paper sense tenir molts problemes – recordem que hem decidit no fer ús de la calculadora i volem reproduir la idea central del càlcul logarítmic, com en el segle disset -, però i si volguéssim multiplicar $32768$ per $2048$ (dos nombres que també són potències de base $2$, amb exponents respectius $15$ i $11$) ? Ara ja li comencem a veure el sentit, oi ? Doncs bé, procedirem de manera semblant. Diguem, primer de tot, que s'anomena logaritme en base $2$ a l'exponent de la potència (en base $2$) i antilogaritme al valor de la potència - tal com hem comentat, aquestes dues quantitats se suposa que les tenim tabulades i que les podem fer servir sempre que vulguem fer, per exemple, una multiplicació -; llavors, tan sols ens cal sumar els exponents dels factors (els logaritmes) i a partir del resultat d'aquesta suma, consultar la taula per trobar l'antilogaritme (el resultat del producte).

Esquematitzem aquests passos per fer-ne remarca:
Volem multiplicar $32768 \cdot 2048$, per això, llegim els exponents a les taules ( $15$ i $11$ ) i els sumem, $15+11 = 26$. A continuació, consultem a les taules quin és l'antilogaritme corresponent a l'exponent $26$ i obtenim el resultat de la multiplicació: $67\,108\,864$

Si en comptes de multiplicar volem dividir, per les propietats de les potències, caldrà fer quelcom semblant, però restant els logaritmes i, amb aquesta quantitat, llegir el valor de l'antilogaritme a les taules. I, no cal dir que també podem efectuar potències successives, calcular radicals, etcètera

Tot el que s'acaba de dir per a potències de base $2$ es pot generalitzar en la propietat
$\log_{b}{a}=l \Leftrightarrow b^l=a$, sigui quin sigui el valor de la base $b$ escollida (a l'exemple, per simplicitat, he escollit el valor $2$). Per calcular amb logaritmes, tan a les rutines numèriques de les calculadores científiques o dels programes de càlcul científic, com a les taules (que es feien servir no fa pas tants anys), s'utilitzen (de forma estàndard), les bases $10$ (logaritmes decimals o de Briggs) i la base $e=2,718281828 \ldots$ (logaritmes natural o de Neper , llatinització del cognom de John Napier).

[nota del autor]