1. Resoleu el sistema d'equacions:
$\left.\begin{matrix} x + y = 1\\ \\ \log{x} + \log{y} = \log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}\\ \end{matrix}\right\}$
Per les propietats dels logaritmes, la segona equació es pot posar de la forma
$\log{(x\,y)}=\log{\big(\dfrac{1}{100}\big)}$
és a dir
$x\,y = \dfrac{1}{100}$
Llavors, aïllant una de les dues variables (per exemple $y$) queda
$y = \dfrac{1}{100\,x}$
que, substituïda a la primera equació, ens permet escriure una equació amb una sola variable
$x+\dfrac{1}{100 \, x}=1$
equivalent a
$100\,x^2-100\,x+1=0$
d'on traiem que
$x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$
i
$x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10} > 0$
valors aparellats amb els de la variable $y$ (substituint):
$y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$
i
$y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}> 0$
Per tant, trobem dues solucions
a) $x_1=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_1=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$
b) $x_2=\dfrac{5-2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$, $y_2=\dfrac{5+2\,\left|\sqrt{6}\right|}{10}$
$\square$
2. Calculeu el valor aproximat de $x$ amb cinc xifres significatives
$3^x=7$
Extraient logaritmes de cada membre de la igualtat
$\ln{\big(3^x\big)}=\ln{7}$
d'on, per les propietats dels logaritmes, queda
$x\, \ln{3}=\ln{7}$
i, aïllant la variable, podrem escriure
$x=\dfrac{\ln{7}}{\ln{3}} \approx 1,7712 \, \text{(5 x.s.)}$
$\square$
3. Resoleu l'equació
$2^{x^2+5x+8}=4$
Podem expressar el terme independent del segon membre com una potència de de base dos
$2^{x^2+5x+8}=2^2$
d'on es desprèn que els exponents de tots dos membres han de ser iguals (les bases són les mateixes)
$x^2+5x+8=2$
equació que, tota vegada l'hem preparat per ser resolta, queda de la forma
$x^2+5x+6=0$
i dóna els següents resultats
$x=\left\{\begin{matrix} -2\\ \\ -3\\ \end{matrix}\right.$
$\square$
