Enunciat:
Calculeu el límit de la successió de nombres reals de terme general
$a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
Solució:
En passar al límit
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\sqrt{n^3}-\sqrt{n+1}$
ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty - \infty$
que mirarem de desfer multiplicant i dividint per l'expressió conjugada
$\sqrt{n^3}+\sqrt{n+1}$
llavors,
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\sqrt{n^3}-\sqrt{n+1}$
$\displaystyle=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{\big(\sqrt{n^3}-\sqrt{n+1}\big)\big(\sqrt{n^3}+\sqrt{n+1}\big)}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n+1}}$
$\displaystyle=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{\big(\sqrt{n^3}\big)^2-(n+1)}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n+1}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{n^{\frac{3}{2}}-(n+1)}{n^{\frac{3}{2}}+(n+1)^{\frac{1}{2}}}$
i dividint el numerador i el denominador per $n^{\frac{3}{3}}$,
$\displaystyle=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{1-n^{-\frac{1}{2}}-n^{-\frac{3}{2}}}{1+\big(\frac{n+1}{n^3}\big)^{\frac{1}{2}}}$
$\displaystyle=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n^3}}}{1+\sqrt{\frac{n+1}{n^3}}}$
i tornant, ara, a passar al límit,
$=\dfrac{1-0-0}{1+0}$
$=1$
$\square$
