Enunciat:
Un examen de tipus test consta de $20$ preguntes. Cada pregunta es pot contestar marcant tan sols una opció d'entre cinc, i tan sols una d'aquestes cinc és la resposta correcta. Cada pregunta ben contestada val un punt i cada pregunta mal contestada val menys un quart de punt. No es pot deixar cap pregunta en blanc. Suposant que un alumne realitzi el test a l'atzar, us demanem: a) quina és la puntuació que pot esperar ?, b) en una escala lineal de $0$ a $10$, quina nota (aproximada a un nombre natural) li correspondria ?.
Solució:
a)
Designem amb $X$ la variable aleatòria "puntuació obtinguda" en la realització del test (contestant a l'atzar). En cada pregunta hom pot obtenir un punt amb probabilitat (d'encert) igual a 1/5 ; o bé, menys un quart de punt, amb probabilitat (de fallar) igual a 4/5. Tenint en compte que el test consta de vint preguntes i que totes estan valorades de la mateixa manera, la puntuació màxima que es pot obtenir és de 20 punts i la mínima de -5 punts. L'esperança matemàtica de la variable aleatòria $X$ es calcula, doncs, fàcilment:
$E[X]=20\,\big(-\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{5}+1\cdot \dfrac{1}{5}\big)$
$=0 \quad \text{punts}$
b)
Per expressar la puntuació obtinguda en una escala lineal $y$, del zero al 10, determinarem la recta que passa pels punts extrems, de coordenades: $x=-5$ i $y=0$; i, $x=20$ i $y=10$, respectivament.
Aquesta recta, expressada en forma contínua, s'escriu
$\dfrac{x-(-5)}{20-(-5)}=\dfrac{y-0}{10-0}$
i, d'aquí, aïllant $y$, obtenim la recta en forma explícita
$y=\dfrac{2}{5}\,x+2$
Per tant, si $x=0$ (en una escala de -5 a 20), substituint s'obté
$y=\dfrac{2}{5}\cdot 0+2$
$=2$ (en una escala de 0 a 10)
$\square$
