Enunciat:
Considerem una variable estadística $X$ i $n$ valors $\{x_1,\ldots,x_n\}$, amb freqüències $\{f_1,\ldots,f_n\}$
tals que
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,f_i=N$
on $N$ és el nombre total de valors de $X$.
Llavors, coneguda la mitjana arimètica de $X$, $\bar{x}$, us demanem:
a) Si sumem una constant $m$ a cada valor $x_i$, per a tot $i=1,\ldots,n$, quant val, ara, la mitjana aritmètica ?
b) Si multipliquem per una constant $k$ cada valor $x_i$, per a tot $i=1,\ldots,n$, quant val, ara, el valor de la mitjana aritmètica ?
Solució:
Tenint en compte que la mitjana aritmètica $\bar{x}$ es defineix de la forma
$\displaystyle \bar{x} \underset{\text{(def)}}{=} \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
(a)
En aquest cas, ara, la mitjana aritmètica pren el valor:
$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,(x_i+m)\,f_i=\dfrac{1}{N}\,\Big(\sum_{i=1}^{n}\,m\,f_i+\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i\Big)$
$\displaystyle=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,m\,f_i+\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
$\displaystyle=\dfrac{1}{N}\,m\,\sum_{i=1}^{n}\,f_i+\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
$\displaystyle=\dfrac{m}{N}\,N+\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
$\displaystyle=m+\bar{x}$
(b)
Tenint en compte el que es diu en aquest segon apartat, la mitjana aritmètica pren, ara, el següent valor:
$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,(k\,x_i)\cdot f_i=k\,\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i=k\,\bar{x}$
$\square$
Enunciat:
Considerem una variable estadística $X$ i $n$ valors $\{x_1,\ldots,x_n\}$, amb freqüències $\{f_1,\ldots,f_n\}$
tals que
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,f_i=N$
on $N$ és el nombre total de valors de $X$.
Llavors, coneguda la mitjana arimètica de $X$, $\bar{x}$ i la variància $\sigma^2$ de $X$, us demanem:
a) Si sumem una constant $m$ a cada valor $x_i$, per a tot $i=1,\ldots,n$, quant val, ara, la variància ?
b) Si multipliquem per una constant $k$ cada valor $x_i$, per a tot $i=1,\ldots,n$, quant val, ara, la variància ?
Solució:
Recordem les definicions:
$\displaystyle \bar{x} \underset{\text{def}}{=} \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_i\,f_i$
$\displaystyle \overline{x^2} \underset{\text{def}}{=} \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}^2\,f_i$
$\displaystyle \sigma^2 \underset{\text{def}}{=}\sum_{i=1}^{n}\,\big(x_i-\bar{x}\big)^2\,f_i=\overline{x^2}-(\bar{x})^2$
(a)
Si la nova mitjana aritmètica és, ara, $\bar{x}+m$, la variància serà igual a
$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,(x_i+m)^2\,f_i-(\bar{x}+m)^2=$
$\displaystyle=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\big(x_{i}^{2}+2\,m\,x_i+m^2\big)\,f_i-(\bar{x}+m)^2$
$\displaystyle=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}^{2}\,f_i+\dfrac{2\,m}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}\,f_i+\dfrac{m^2}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,f_i-\big((\bar{x})^2+2\,m\,\bar{x}+m^2\big)$
$\displaystyle=(\overline{x^2}+2\,m\,\bar{x}+m^2)-\big((\bar{x})^2+2\,m\,\bar{x}+m^2\big)$
$\displaystyle=\overline{x^2}-\big(\bar{x})^2$
$\displaystyle=\sigma^2$
(b)
Tenint en compte que la nova mitjana aritmètica és, ara, $k\,\bar{x}$, la variància prendrà el següent valor:
$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,(k\,x_i)^2\,f_i-(k\,\bar{x})^2=$
$\displaystyle=k^2\,\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\,f_i-k^2\,(\bar{x})^2$
$\displaystyle=k^2\,\overline{x^2}-k^2\,(\bar{x})^2$
$\displaystyle=k^2\,\Big(\overline{x^2}-(\bar{x})^2\Big)$
$\displaystyle=k^2\,\sigma^2$
$\square$
